Gọi $O$ là giao điểm của $AC,BD$
Xét $∆ABD$ có:
$DM$ là trung tuyến ứng với cạnh $AB\quad (AM = MB)$
$AO$ là trung tuyến ứng với cạnh $BD\quad (DO = OB)$
$\Rightarrow I$ là trọng tâm của $∆ABD$
$\Rightarrow AI = 2IO = \dfrac{2}{3}AO$
Chứng minh tương tự với $∆BCD$ ta được:
$K$ là trọng tâm $∆BCD$
$\Rightarrow CK = 2OK=\dfrac{2}{3}OC$
mà $AO = OC$
nên $IO = OK$
$\Rightarrow IK = OI + OK = 2OI = AI = CK$
Vậy $AI = IK = KC$
b) Xét $∆DIK$ và $∆DMN$ có:
$\widehat{D}:$ góc chung
$\dfrac{DI}{DM}=\dfrac{DK}{DN}=\dfrac{2}{3}$ (tính chất trọng tâm)
Do đó $∆DIK\sim ∆DMN\, (c.g.c)$
$\Rightarrow \dfrac{IK}{MN}=\dfrac{DI}{DK}=\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow IK = \dfrac{2}{3}MN$
