a, Có AB= $\frac{3}{4}$. AC => AB²= $\frac{9}{16}$. AC²
Xét ΔABC vuông tại A
=> BC²= AB²+ AC² (Pytago)
<=> $\frac{9}{16}$. AC²+ AC²= 20²
<=> $\frac{25}{16}$. AC²= 400
<=> AC²= 256
=> AC=16 (cm)(vì AC >0)
=> AB= 12 cm
Xét ΔABC vuông tại A
=> AB²= BH. BC
=> BH= $\frac{AB²}{BC}$= 7,2 (cm)
Có HC= BC- BH= 20- 7,2= 12,8 (cm)
Xét ΔABC vuông tại A
=> AH²= BH. HC = 7,2. 12,8= 92,16
=> AH= 9,6 (cm)(vì AH>0)
b, Xét ΔMBH vuông tại M có MI là đường trung tuyến
=> MI= 1/2. BH= 1/2. 7,2= 3,6 (cm)
Cm tương tự: NK= 1/2. HC= 1/2. 12,8= 6,4 (cm)
Xét tứ giác AMHN có ∠MAN= ∠AMH= ∠ANH = 90 độ
=> AMHN là hình chữ nhật
=> AH= MN = 9,6 cm(vì AH, MN là đường chéo)
Có HM ⊥ AB
AC ⊥ AB
=> HM// AC
=> ∠IHM= ∠KCN
Có MI là đường trung tuyến Δvuông MBH
=> MI= IH => ΔMIH cân tại I => ∠MHI= ∠IMH
Cm tương tự: ∠KCN= ∠KNC
Xét ΔMIH có ∠BIM là góc ngoài tại I => ∠BIM= ∠MHI+ ∠IMH= 2∠IHM
Xét ΔNKC có ∠HKN là gcos ngoài tại K=> ∠HKN= ∠KCN+ ∠KNC= 2∠KCN
Mà ∠IHM= ∠KCN
=> ∠BIM= ∠HKN
Mà chúng ở vị trí đồng vị do BC cắt MI, KN
=> MI // KN
Xét tứ giác MIKN có MI// KN
=> MIKN là hình thang
=> S MIKN= 1/2. (MI+ KN). MN= 1/2. (3,6+ 6,4). 9,6= 48 (cm²)
c, Có AB²= BH. BC
AC²= HC. BC
=> $\frac{AB². AC²}{BC²}$= $\frac{BH.BC.BC.HC}{BC.BC}$= BH.HC
Mà AH²= BH.HC
=> $\frac{AB². AC²}{BC²}$= AH²
Có AH= MN
=> MN²= $\frac{AB². AC²}{BC²}$
