@nan
$\text{bài 2}$
$\text{a) }$
$\text{EP // AC => $\frac{CP}{PB}$ = $\frac{AF}{FB}$ ( 1) }$
$\text{AK // CD=> $\frac{CM}{AM}$ = $\frac{DC}{AK}$ ( 2)}$
$\text{các tứ giác AFCD , DCBK là các hình bình hành nên}$
$\text{AF = DC , FB - AK (3) }$
$\text{Kết hợp (1) , (2) , (3) ta có $\frac{CP}{PB}$ = $\frac{CM}{AM}$ => MP // AB ( định lí ta - lét đảo ) (4)}$
________________________________________________________________________
$\text{b) }$
$\text{Gọi I là giao điểm của BD và CF , ta có : }$
$\text{$\frac{CP}{PB}$ = $\frac{CM}{AM}$ = $\frac{DC}{AK}$ = $\frac{DC}{FB}$ Mà $\frac{DC}{FB}$ = $\frac{DI}{IB}$ ( DO FB // DC ) => $\frac{CP}{PB}$ = $\frac{DI}{IB}$ => IP // DC // AB (5) }$
$\text{Từ (4) , (5) suy ra : qua P có hai đường thẳng IP , PM cùng song song với AB // DC nên theo Ơclít thì ba điểm P , L , M thẳng hàng MP đi qua giao điểm của CF và DB hay ba đường thẳng MP , CP , DB đồng quy}$
______________________________________________________________
$\text{bài 3}$
$\text{Gọi K là giao điểm của CF và AB ; M là giao điểm của DF và BC }$
$\text{ΔKBC có BF vừa là phân giác vừa là đường cao nên ΔKBC cân tại B => BK = BC và FC = FK Mặt khác D là trung tâm AC và DF là trung bình của ΔAKC => DDF // AK hay DM // AB }$
$\text{Suy ra M là trung điểm BC}$
$\text{DF = $\frac{1}{2}$ AK ( DF là đường trung bình ΔAKC ) , ta có : $\frac{BG}{GD}$ = $\frac{BK}{DF}$ ( do DF // BK ) => $\frac{BG}{GD}$ = $\frac{BK}{DF}$ = $\frac{2BK}{AK}$ (1) }$
$\text{Mốt khác $\frac{CE}{DE}$ = $\frac{DC - DE}{DE}$ = $\frac{DC}{DE}$ - 1 = $\frac{AD}{DE}$ -1 ( Vì AD = DC )}$
$\text{=> $\frac{CE}{DE}$ = $\frac{AE - DE}{DE}$ = $\frac{DC }{DE}$ - 1 = $\frac{AD}{DE}$ - 1 Hay $\frac{CE}{DE}$ = $\frac{AE - DE}{DE}$ - 1 = $\frac{AE}{DE}$ - 2 = $\frac{AB}{DF}$ - 2 ( vì $\frac{AE}{DE}$ = $\frac{AB}{DF}$ }$
$\text{Do DF // AB }$
$\text{Suy ra $\frac{CE}{DE}$ = $\frac{AK + BK}{AK}$ - 2 = $\frac{2(AK + BK)}{AK}$ - 2 ( do DF = $\frac{1}{2}$ AK ) => $\frac{CE}{DE}$ = $\frac{2(AK + BK)}{AK}$ => $\frac{CE}{DE}$ = $\frac{2(AK + BK)}{AK}$ -1 = $\frac{2BK}{AK}$ (2) }$
$\text{từ (1) và (2) suy ra $\frac{BG}{GD}$ = $\frac{CE}{DE}$ => EG // BC }$
$\text{Gọi giao điểm của EG và DF là O ta có $\frac{OG}{MC}$ = $\frac{OE}{MB}$ ( = $\frac{FO}{FM}$ ) => OG = OE}$
