Đáp án :
$\\$
`a,`
Xét `ΔABC` và `ΔABD` có :
`AB` chung
`AD=AC` (gt)
`hat{BAC}=hat{BAD}=90^o` (gt)
`-> ΔABC = ΔABD` (cạnh - góc - cạnh)
`-> BC = BD` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔBCD` cân tại `B`
$\\$
`b,`
Do `ΔABC = ΔABD` (cmt)
`-> hat{ABC}=hat{ABD}` (2 góc tương ứng)
hay `hat{ABM}=hat{ABN}`
Xét `ΔABM` và `ΔABN` có :
`hat{AMB}=hat{ANB}=90^o` (gt)
`AB` chung
`hat{ABM}=hat{ABN}` (cmt)
`-> ΔABM = ΔABN` (cạnh huyền - góc nhọn)
`-> hat{BAM}=hat{BAN}` (2 góc tương ứng)
hay `AB` là tia phân giác của `hat{MAN}`
$\\$
`c,`
Do `ΔABM=ΔABN` (cmt)
`-> BM=BN` (2 cạnh tương ứng)
`-> ΔBMN` cân tại `B`
`-> hat{BMN}=(180^o - hat{B})/2` `(1)`
Do `ΔBCD` cân tại `B` (cmt)
`-> hat{BCD}=(180^o - hat{B})/2` `(2)`
Từ `(1), (2)`
`-> hat{BMN}=hat{BCD}`
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị
$→ MN//BC$
$\\$
`e,`
Giả sử `ΔABC` có : `AB=AC`
Có : `AB=AC` (giả sử)
`-> ΔABC` cân tại `A`
mà `AM` là đường cao (gt)
`-> AM` là đường trung tuyến
Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :
`AM` là đường trung tuyến (cmt)
`-> AM = 1/2 BC`
`-> M` là trung điểm của `BC`
Do `ΔABM=ΔABN` (cmt)
`-> AM = AN`
mà `AM = 1/2 BC` (cmt)
`-> AN =1/2 BC`
`-> AN = 1/2 BD` (Do `BC=BD`)
`-> N` là trung điểm của `BD`
Trên tia đối của `MN` lấy `H` sao sho `MN=MH`
Xét `ΔBMN` và `ΔCMH` có :
`hat{BMN}=hat{CMH}` (2 góc đối đỉnh)
`MN=MH` (cách kẻ)
`BM=CM` (Do `M` là trung điểm của `BC`)
`-> ΔBMN = ΔCMH` (cạnh - góc - cạnh)
`-> hat{MBN}=hat{MCH}` (2 góc tương ứng)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
$→ CH//BD$
Xét `ΔNHD` và `ΔCDH` có :
`hat{NHD}=hat{CDH}` (Do $MN//DC$)
`hat{NDH}=hat{CHD}` (Do $CH///BD$)
`DH` chung
`-> ΔNHD =ΔCDH` (góc - cạnh - góc)
`-> NH=DC` (2 cạnh tương ứng)
Có : `MN =MH` (cách kẻ)
mà `M` là trung điểm của `NH`
`->MN = 1/2 NH`
mà `NH=DC` (cmt)
`-> MN = 1/2 DC`
Vậy `ΔABC` cần `AB=AC` để `MN=1/2 DC`
