Dễ dàng chứng minh được $MN, NP, PM$ là đường trung bình của $∆ABC$
Ta được:
$MN = AP = PB = \dfrac{1}{2}AB$
$NP = BM = MC = \dfrac{1}{2}BC$
$PM = AN = NC = \dfrac{1}{2}AC$
Do đó $∆APN = ∆PBM = ∆NMC \, (c.c.c)$
$\Rightarrow$ đường tròn ngoại tiếp $APN, BPM, CMN$ bằng nhau
Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$
$\Rightarrow OM\perp BC;\, ON\perp AC$
$\widehat{OMC} = \widehat{ONC} = 90^o$
$\Rightarrow OMCN$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow O, M, C, N$ cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp $∆CMN$
Chứng minh tương tự, ta được:
$O, P, A, N$ cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp $∆APN$
$O, P, B, M$ cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp $∆BPM$
Do đó đường tròn ngoại tiếp các tam giác $APN, BPM, CMN$ đồng quy tại $O$
