Giải thích các bước giải:
Bài 4:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = a\) là:
\(y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
y = f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\\
\Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 4
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow f'\left( 1 \right) = {3.1^2} - 4.1 + 4 = 3\\
f\left( 1 \right) = {1^3} - {2.1^2} + 4.1 - 5 = - 2
\end{array}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là:
\(\begin{array}{l}
y = f'\left( 1 \right)\left( {x - 1} \right) + f\left( 1 \right)\\
\Leftrightarrow y = 3.\left( {x - 1} \right) + \left( { - 2} \right)\\
\Leftrightarrow y = 3x - 5
\end{array}\)
Bài 5:
\(\begin{array}{l}
\left( {{u^\alpha }} \right)' = \alpha .u'.{u^{\alpha - 1}}\\
y = \sqrt {{x^2} - x + 3} = {\left( {{x^2} - x + 3} \right)^{\frac{1}{2}}}\\
\Rightarrow y' = \frac{1}{2}.\left( {{x^2} - x + 3} \right)'.{\left( {{x^2} - x + 3} \right)^{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{1}{2}.\left( {2x - 1} \right).{\left( {{x^2} - x + 3} \right)^{\frac{{ - 1}}{2}}}\\
\Rightarrow y'' = \frac{1}{2}.\left[ {\left( {2x - 1} \right)'.{{\left( {{x^2} - x + 3} \right)}^{\frac{{ - 1}}{2}}} + \left( {2x - 1} \right).\left( {{{\left( {{x^2} - x + 3} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}} \right)'} \right]\\
= \frac{1}{2}.\left[ {2.{{\left( {{x^2} - x + 3} \right)}^{ - \frac{1}{2}}} + \left( {2x - 1} \right).\left( { - \frac{1}{2}} \right).\left( {{x^2} - x + 3} \right)'.{{\left( {{x^2} - x + 3} \right)}^{ - \frac{3}{2}}}} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {2.{{\left( {{x^2} - x + 3} \right)}^{ - \frac{1}{2}}} - \frac{1}{2}{{\left( {2x - 1} \right)}^2}.{{\left( {{x^2} - x + 3} \right)}^{ - \frac{3}{2}}}} \right]\\
= {\left( {{x^2} - x + 3} \right)^{ - \frac{1}{2}}} - \frac{1}{4}{\left( {2x - 1} \right)^2}{\left( {{x^2} - x + 3} \right)^{ - \frac{3}{2}}}\\
= \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 3} }} - \frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{4.\sqrt {{{\left( {{x^2} - x + 3} \right)}^3}} }}
\end{array}\)
