Câu 5:
a.
+ Gọi $H = PN ∩ BC$; $I = MP ∩ BC$.
+ Ta có: $\frac{AN}{AC} + \frac{NC}{AC} = 1$. $(1)$
+ Mặt khác, áp dụng định lý Ta lét, ta có:
$\frac{NC}{AC} = \frac{CH}{BC} = \frac{CI + IH}{BC} = \frac{CI}{BC} + \frac{IH}{BC}$. $(2)$
+ Vì $IM // AC$ nên $\frac{CI}{BC} = \frac{AM}{AB}$. $(3)$
+ Vì $ ∆ABC \sim ∆PHI$ (g.g).
⇒ $\frac{IH}{BC} = \frac{PH}{AB}$ mà $\frac{PH}{AB} = \frac{PQ}{AQ}$ nên $\frac{IH}{BC} = \frac{PQ}{AQ}$. $(4)$
+ Từ $(1)$, $(2)$, $(3)$ và $(4)$, suy ra:
$\frac{AN}{AC} + \frac{NC}{AC} = \frac{AN}{AC} + \frac{CI}{BC} + \frac{IH}{BC} = \frac{AN}{AC} + \frac{AM}{AB} + \frac{PQ}{AQ} = 1$.
+ Hay: $\frac{AM}{AB} + \frac{AN}{AC} + \frac{PQ}{AQ} = 1$.
b.
+ Ta có: $\frac{AM.AN.PQ}{AB.AC.AQ} = \frac{CI.AN.IH}{BC.AC.BC} = \frac{CI.BH.IH}{BC.BC.BC} = \frac{1}{27}$.
⇔ $CI.IH.HB = \frac{BC^{3}}{27}$.
+ Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm, ta có:
$CI.IH.HB ≤ \frac{(CI IH.HB)^{3}}{3^{3}} = \frac{BC^{3}}{27}$.
+ Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $CI = IH = HB$.
+ Đẳng thức xảy ra khi $Q$ là trung điểm $BC$.
