Đáp án:
`a)` `m\le 1`
`b)` `m=1/2; x_1=3+\sqrt{2};x_2=3-\sqrt{2}`
Giải thích các bước giải:
`\qquad mx^2-2(m+1)x+m+3=0` `(1)`
`a)`
+) Nếu `m=0`
`(1)<=>-2x+3=0<=> -2x=-3<=>x=3/2`
`=>` phương trình có nghiệm `x=3/2` khi `m=0` (*)
$\\$
+) Nếu `m\ne 0` thì `(1)` là phương trình bậc hai ẩn `x`
Ta có: `a=m;b=-2(m+1); c=m+3`
`=>b'=-(m+1)`
`∆'=b'^2-ac=[-(m+1)]^2-m.(m+3)`
`=m^2+2m+1-m^2-3m=-m+1`
Phương trình có nghiệm khi:
`\qquad ∆'\ge 0`
`<=>-m+1\ge 0<=> -m\ge -1<=>m\le 1` (**)
Từ (*);(**) `=>m\le 1` thì phương trình `(1)` có nghiệm
$\\$
`c)` Từ câu `a` với `m=0` phương trình `(1)` có nghiệm duy nhất `x=3/2` (không thỏa mãn tổng các nghiệm bằng $6$)
`=>m\ne 0` và phương trình `(1)` phải có hai nghiệm `x_1;x_2`
`=>m\le 1`
Từ hệ thức Viet ta có:
$\quad x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{2(m+1)}{m}$
Để `x_1+x_2=6`
`<=>{2(m+1)}/m=6`
`<=>2m+2=6m`
`<=>-4m=-2<=>m=1/2` (thỏa mãn)
$\\$
Với `m=1/2`
`(1)<=>1/ 2 x^2-2. (1/2+1)x+1/2+3=0`
`<=>1/2x^2-3x+7/2=0`
`<=>x^2-6x+7=0`
`∆'=(-3)^2-1.7=2>0`
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
`\qquad x_1=3+\sqrt{2}`
`\qquad x_2=3-\sqrt{2}`
Vậy `m=1/2; x_1=3+\sqrt{2};x_2=3-\sqrt{2}`
