`a)` `AB=6cm; cos\hat{ABC}=3/5`
`=>cos\hat{ABM}=3/5`
Xét $∆ABM$ vuông tại $M$
`=>cos\hat{ABM}=3/5={BM}/{AB}`
`=>BM=AB. 3/5=6 . 3/5={18}/5cm`
$\\$
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AM$
`=>AB^2=BM.BC`
`=>BC={AB^2}/{BM}={6^2}/{{18}/5}=10cm`
$\\$
`\qquad AB^2+AC^2=BC^2` (định lý Pytago)
`=>AC^2=BC^2-AB^2=10^2-6^2=64`
`=>AC=\sqrt{64}=8cm`
$\\$
Vậy `BC=10; AC=8cm; BM={18}/5cm`
$\\$
`b)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABM$ vuông tại $M$ có $MD\perp AB$
`=>AM^2=AD.AB`
Xét $∆ACM$ vuông tại $M$ có $ME\perp AC$
`=>AM^2=AE.AC`
`=>AD.AB=AE.AC` (đpcm)
$\\$
`c)` Vì `AD.AB=AE.AC`
`=>{AD}/{AC}={AE}/{AB}`
Xét $∆ADE$ và $∆ACB$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad {AD}/{AC}={AE}/{AB}` (c/m trên)
`=>∆ADE∽∆ACB` (c-g-c)
`=>\hat{ADE}=\hat{ACB}`
$\\$
Vì $H$ là trung điểm $BC$
`=>AH` là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AH=CH=1/2BC`
`=>∆ACH` cân tại $H$
`=>\hat{CAH}=\hat{ACH}`
`=>\hat{EAK}=\hat{ACB}=\hat{ADE}=\hat{ADK}`
Ta có:
`\qquad \hat{DAK}+\hat{EAK}=\hat{BAC}=90°`
`=>\hat{DAK}+\hat{ADK}=90°`
Xét $∆ADK$ có:
`\qquad \hat{AKD}=180°-(\hat{DAK}+\hat{ADK})=180°-90°=90°`
`=>AK`$\perp DE$ tại $K$
`=>1/{AK^2}=1/{AD^2}+1/{AE^2}` (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
