Đáp án:

$\begin{array}{l}
Dkxd:x \ge 0;x \ne 4\\
a)x = 6 - 2\sqrt 5 \left( {tmdk} \right)\\
 = {\left( {\sqrt 5  - 1} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  = \sqrt 5  - 1\\
M = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} = \dfrac{{\sqrt 5  - 1 + 3}}{{\sqrt 5  - 1 - 2}} = \dfrac{{\sqrt 5  + 2}}{{\sqrt 5  - 3}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt 5  + 2} \right)\left( {\sqrt 5  + 3} \right)}}{{5 - 9}}\\
 = \dfrac{{5 + 5\sqrt 5  + 6}}{{ - 4}}\\
 = \dfrac{{ - 11 - 5\sqrt 5 }}{4}\\
b)N = \dfrac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x  - 2}}{{x - 4}}\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) + 5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{x - 3\sqrt x  + 2 + 5\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\\
c)E = M:N\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}}.\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x }}\\
 = \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }}\left( {dk:x > 0;x \ne 4} \right)\\
E > 2\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }} - 2 > 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 3 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x }} > 0\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{3 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} > 0\\
 \Leftrightarrow 3 - \sqrt x  > 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt x  < 3\\
 \Leftrightarrow x < 9\\
Vậy\,0 < x < 9;x \ne 4\\
d)E =  - \dfrac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }} =  - \dfrac{1}{2}\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt x  + 6 =  - \sqrt x \\
 \Leftrightarrow 3\sqrt x  =  - 6\left( {ktm} \right)\\
Vậy\,x \in \emptyset 
\end{array}$

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a,

`x=6-2\sqrt{5}`

`⇔x=5-2\sqrt{5}+1`

`⇔x=(\sqrt{5}-1)^2`

Thay giá trị `x` vào `M` ta được:

`M=\frac{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}+3}{\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}-2}`

`M=\frac{\sqrt{5}-1+3}{\sqrt{5}-1-2}`

`M=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-3}`

`M=\frac{-11-5\sqrt{5}}{4}`

Vậy tại `x=6-2\sqrt{5}` thì `M=\frac{-11-5\sqrt{5}}{4}`

b,

`N=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5\sqrt{x}-2}{x-4}(x≥0;x\ne4)`

`N=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)+5\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}`

`N=\frac{x-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}`

`N=\frac{x+2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}`

`N=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}`

`N=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}(đpcm)`

c,

`E=M:N=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}(x\ne4;x>0)`

`E=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}.\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}`

`E=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}`

`E>2`

`⇔\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}>2`

`⇔\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}-2>0`

`⇔\frac{\sqrt{x}+3-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}>0`

`⇔\frac{-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}>0`

`\sqrt{x}>0`

`⇒3-\sqrt{x}>0`

`⇔3>\sqrt{x}`

`⇔x<9`

Vậy `0<x<9;x\ne4` thì `E>2`

d,

`E=\frac{-1}{2}`

`⇔\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}=\frac{-1}{2}`

`⇔-\sqrt{x}=2\sqrt{x}+6`

`⇔3\sqrt{x}+6=0`

`3\sqrt{x}≥0`

`⇔3\sqrt{x}+6≥6>0`

Vậy không tìm được `x` thỏa mãn