$a)\Delta ABC$ cân tại $A$
$=>AB=AC;\widehat{B_1}=\widehat{C_1}=\dfrac{180^o-\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}$
Mà $BD=CE$
$=>AD=AE$
$=>ADE$ cân tại $A$
$=>\widehat{D_1}=\widehat{E_1}=\dfrac{180^o-\widehat{DAE}}{2}=\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\\ =>DE//BC\\ b)\widehat{B_2}=\widehat{B_1}(đđ)=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}(đđ)$
Xét $\Delta MBD$ và $\Delta NCE$
$BD=CE\\ \widehat{DMB}=\widehat{ENC}=90^o\\ \widehat{B_2}=\widehat{C_2}\\ =>\Delta MBD = \Delta NCE\\ =>DM=EN\\ c)\Delta MBD = \Delta NCE\\ =>\widehat{D_2}=\widehat{E_2};MD=NE$
Xét $\Delta AMD$ và $\Delta ANE$
$AD=AE\\ \widehat{D_2}=\widehat{E_2}\\ MD=NE\\ =>\Delta AMD = \Delta ANE\\ =>AM=AN$
$=>\Delta AMN$ cân tại $A$
$d)BI,CI$ cắt $AM,AN$ tại $G,H$
$\Delta AMD = \Delta ANE$
$=>\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$
Xét $\Delta AGB$ và $\Delta AHC$
$\widehat{G_1}=\widehat{H_1}=90^o\\ AB=AB\\ \widehat{A_1}=\widehat{A_2}\\ =>\Delta AGB = \Delta AHC\\ =>AG=AH;GB=CH$
Xét $\Delta AGI$ và $\Delta AHI$
$AI$: chung
$AG=AH\\ \widehat{G_1}=\widehat{H_1}=90^o\\ =>\Delta AGI = \Delta AHI\\ =>\widehat{GAI}=\widehat{HAI};GI=HI$
$=> AI$ là tia phân giác $\widehat{GAH}$ hay $\widehat{MAN}(1)$
$GI=HI;GB=CH=>BI=CI$
Mà $BA=CA$
$=>AI$ là trung trực $BC$
Mà $\Delta ABC$ cân tại $A$
$=>AI$ đồng thời là phân giác $\widehat{BAC}(2)$
$(1)(2)=>đpcm$
