Bài 1:
$\quad I =\displaystyle\int xe^{x^2+1}dx$
Đặt $t = x^2 +1$
$\to dt = 2xdx$
Ta được:
$\quad I =\dfrac12\displaystyle\int e^tdt$
$\to I =\dfrac12e^t+ C$
$\to I =\dfrac12e^{x^2+1} + C$
Bài 2:
Gọi $SAB$ là thiết diện cắt bởi mặt phẳng đi qua trục và hình nón ($S$ là đỉnh của hình nón, $A,\ B$ thuộc đáy)
$\Rightarrow \widehat{ASB}= 60^\circ$
$\Rightarrow ∆SAB$ đều
$\Rightarrow r =\dfrac{SA\sqrt3}{3}= 2$
$\Rightarrow SA = 2\sqrt3$
$\Rightarrow OA = \sqrt3$ ($O$ là tâm của đáy)
$\Rightarrow SO = \dfrac32r = 3$
Ta được:
$V =\dfrac13S_{(O;OA)}SO =\dfrac13\cdot \pi (\sqrt3)^2\cdot 3$
$\Rightarrow V = 3\pi$
Bài 3:
Ta có:
$A(1;3;-1),\ B(1;1;0)\in (Q)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}= (0;-2;1)$ là VTCP của $(Q)$
Ta lại có:
$(Q)\perp (P)$
$\Rightarrow \overrightarrow{n_P}= (2;1;-3)$ là VTCP của $(Q)$
$\Rightarrow \overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{n_P}\right]= (5;2;4)$ là VTPT của $(Q)$
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $B(1;1;0)$ và nhận $\overrightarrow{n_Q}=(5;2;4)$ làm VTPT có dạng:
$(Q): 5(x-1) + 2(y-1) + 4z = 0 \Leftrightarrow 5x + 2y + 4z - 7 = 0$
