`a)` `DI=6cm; IF=8cm`

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông 

Xét $∆DEF$ vuông tại $D$ đường cao $DI$

`=>DI^2=EI.IF`

`=>EI={DI^2}/{IF}={6^2}/8=4,5cm`

`=>EF=EI+IF=4,5 +8=12,5cm`

$\\$

`\qquad DE^2=EI.EF=4,5.\ 12,5=56,25`

`=>DE=\sqrt{56,25}=7,5cm`

$\\$

`\qquad DF^2=IF.EF=8.\ 12,5=100`

`=>DF=\sqrt{100}=10cm`

$\\$

`\qquad sinE={DF}/{EF}={10}/{12,5}=0,8`

`=>\hat{E}≈53°8'`

$\\$

`\qquad \hat{E}+\hat{F}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{F}=90°-\hat{E}≈90°-53°8'≈36°52'`

Vậy: `DE=7,5cm; DF=10cm; \hat{E}≈53°8'; \hat{F}≈36°52'`

$\\$

`b)` Xét $∆DEI$ vuông tại $I$ có $IK\perp DF$

`=>1/{IK^2}=1/{DI^2}+1/{IF^2}` (hệ thức lượng)

`=>1/{IK^2}=1/{6^2}+1/{8^2}={25}/{576}`

`=>IK^2={576}/{25}`

`=>IK=\sqrt{{576}/{25}}=4,8cm`

$\\$

`=>DI^2=DK.DF` (hệ thức lượng)

`=>DK={DI^2}/{DF}={6^2}/{10}=3,6cm`

$\\$

`\qquad S_{∆DIK}=1/ 2 IK.DK``=1/ 2 . 4,8. \ 3,6=8,64cm^2`

Vậy `IK=4,8cm; S_{∆DIK}=8,64cm^2`

$\\$

`c)` `EM` là phân giác của `\hat{DEF}`

`=>{DM}/{MF}={ED}/{EF}={7,5}/{12,5}=3/5`

`=>DM=3k; MF=5k\quad (k>0)`

Vì $DF=10=DM+MF$

`=>3k+5k=10=>8k=10=>k=5/4` (thỏa mãn)

`=>DM=3k =3 . 5/4={15}/4=3,75cm`

Vậy `DM=3,75cm`

$\\$

`d)` Vì `{DM}/{MF}={DE}/{EF}` (câu c)

`=>{DM}/{DE}={MF}/{EF}={DM+MF}/{DE+EF}={DF}/{DE+EF}`(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Xét $∆DEM$ vuông tại $D$

`=>tan\hat{DEM}={DM}/{DE}={DF}/{DE+EF}` 

Vậy: `tan\hat{DEM}={DF}/{DE+EF}` (đpcm)