Lời giải:
Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Rightarrow BC =\sqrt{AB^2 + AC^2}$
$\Rightarrow BC =\sqrt{6^2 + 8^2}$
$\Rightarrow BC = 10$
Ta có:
$\quad \dfrac12AH.BC = \dfrac12AB.AC = S_{ABC}$
$\Rightarrow AH =\dfrac{AB.AC}{BC}$
$\Rightarrow AH =\dfrac{6.8}{10}$
$\Rightarrow AH =\dfrac{24}{5}$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $\triangle ABH$ vuông tại $H$ ta được:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$\Rightarrow BH =\sqrt{AB^2- AH^2}$
$\Rightarrow BH =\sqrt{6^2 - \dfrac{576}{25}}$
$\Rightarrow BH = \dfrac{18}{5}$
Ta có: $BI$ là phân giác $\widehat{ABH}$
Áp dụng tính chất đường phân giác ta được:
$\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AB}{BH}$
$\Leftrightarrow \dfrac{IH}{IA}=\dfrac{6}{\dfrac{18}{5}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{IH}{IA}=\dfrac{5}{3}\qquad (1)$
Ta có: $BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$
Áp dụng tính chất đường phân giác ta được:
$\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{AB}{BC}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AD}{DC}=\dfrac{6}{10}$
$\Leftrightarrow \dfrac{AD}{DC}=\dfrac53\qquad (2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow \dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AD}{DC}$
