Đáp án:
a, Hàm số y = $x^{2}$ + (2m + 1)x + m - 1 có đường thẳng đối xứng x = $\frac{-(2m+1)}{2}$
⇒ $\frac{-(2m+1)}{2}$ = 1
⇔ m = $\frac{-3}{2}$
Thay m = $\frac{-3}{2}$ vào hàm số ban đầu ta đươc:
y = $x^{2}$ - $2x$ - $\frac{5}{2}$
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc hai.
b. Để y = $x^{2}$ - $2x$ - $\frac{5}{2}$ ≥ 0
⇔ $(x-1)^{2}$ - $\frac{7}{2}$ ≥ 0
⇔ $(x-1)^{2}$ ≥ $\frac{7}{2}$
⇔ x - 1 ≥ $\frac{\sqrt{14}}{2}$ hoặc x - 1 ≤ $\frac{-\sqrt{14}}{2}$
⇔ x ≥ $\frac{2+\sqrt{14}}{2}$ hoặc x - 1 ≤ $\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
c. Để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞)
⇔ y' = 2x + 2m + 1 ≥ 0 ∀ x ∈ (1;+∞)
⇔ m ≥ $\frac{-2x-1}{2}$ ∀ x ∈ (1;+∞)
⇔ m ≥ max ($\frac{-2x-1}{2}$) ∀ x ∈ (1;+∞)
Vì hàm $\frac{-2x-1}{2}$ là hàm nghịch biến nên max $\frac{-2x-1}{2}$ = $\frac{-2.1 -1}{2}$ = $\frac{-3}{2}$
Do đó, m m ≥ $\frac{-3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
d. Giá trị nhỏ nhất của hàm số:
min y (y = $x^{2}$ + (2m + 1)x + m - 1) = $\frac{-Δ}{4}$
Ta có: Δ = $(2m+1)^{2}-4(m-1)$ = $4m^{2}+5$
Suy ra: $\frac{-(4m^{2}+5)}{4}$ = - 2
⇔ m = $\frac{3}{4}$
e. Theo câu d ta có:
min y = $\frac{-(4m^{2}+5)}{4}$ ≤ $\frac{-5}{4}$
Dấu bằng xảy ra khi m = 0.
