a)
$\Delta ABC$ vuông tại $C$
$\to \widehat{A}+\widehat{B}=90{}^\circ $
$\to \widehat{B}=90{}^\circ -\widehat{A}$
$\to \widehat{B}=90{}^\circ -60{}^\circ $
$\to \widehat{B}=30{}^\circ $
Vậy trong $\Delta ABC$:
$\widehat{B}\,\,<\,\,\widehat{A}\,\,<\,\,\widehat{C}\,\,\,\left( \,\,30{}^\circ \,\,<\,\,60{}^\circ \,\,<\,\,90{}^\circ \,\, \right)$
b)
Xét $\Delta ACE$ vuông tại $C$ và $\Delta AKE$ vuông tại $K$, ta có:
$AE$ là cạnh chung
$\widehat{CAE}=\widehat{KAE}$ ( Vì $AE$ là tia phân giác $\widehat{CAK}$ )
$\to \Delta ACE=\Delta AKE$ ( canh huyền – góc nhọn )
$\to AC=AK$ ( hai cạnh tương ứng )
$\to \Delta ACK$ cân tại $A$
Có $CE$ là đường phân giác
Nên $CE$ cũng là đường trung trực
Vậy $AE\bot CK$
c)
$AE$ là tia phân giác $\widehat{CAB}$
$\to \widehat{EAB}=\frac{\widehat{CAB}}{2}=\frac{60{}^\circ }{2}=30{}^\circ $
$\to \widehat{EAB}=\widehat{EBA}=30{}^\circ $
$\to \Delta EAB$ cân tại $E$
$\to EA=EB$
$\Delta ACE$ vuông tại $C$
$\to $ cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông
$\to EA\,\,>\,\,AC$
$\to EB\,\,>\,\,AC$
Kéo dài $AC$ cắt $BD$ tại $F$
$\Delta ACK$ cân tại $A$ ( cmt )
Có $\widehat{CAK}=60{}^\circ $
Nên $\Delta ACK$ là tam giác đều
$\to \widehat{ACK}=\widehat{AKC}=60{}^\circ $
Mặt khác:
$AE\bot CK\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$AE\bot BF$ ( gt )
$\to CK\,\,||\,\,BF$
$\to\begin{cases}\widehat{ACK}=\widehat{AFB}=60{}^\circ\\\\\widehat{AKC}=\widehat{ABF}=60{}^\circ\end{cases}$
$\to \Delta AFB$ là tam giác đều
Có $BC,AD$ là hai đường cao
Nên $BC,AD$ cũng là đường trung tuyến
$\to\begin{cases}FD=\dfrac{1}{2}FB\\\\FC=\dfrac{1}{2}FA\end{cases}$
Mà $FA=FB$ ( Vì $\Delta FAB$ là tam giác đều )
$\to FD=FC$
Xét $\Delta FCE$ vuông tại $C$ và $\Delta FDE$ vuông tại $D$, ta có:
$FE$ là cạnh chung
$FC=FD\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to \Delta FCE=\Delta FDE$ ( cạnh huyền – cạnh góc vuông )
$\to \widehat{CFE}=\widehat{DFE}$ ( hai góc tương ứng )
$\to FE$ là tia phân giác $\widehat{AFB}$
$\Delta EAB$ cân tại $E$ ( cmt )
Có $EK$ là đường cao
Nên cũng là đường trung tuyến
$\to K$ là trung điểm $AB$
$\Delta FAB$ là tam giác đều
Có $FK$ là đường trung tuyến
Nên $FK$ đồng thời cũng là đường phân giác
$\to FK$ là tia phân giác $\widehat{AFB}$
Mà $FE$ là tia phân giác $\widehat{AFB}$ ( cmt )
Nên $FK\equiv FE$
$\to 3$ điểm$F,E,K$ thẳng hàng
Vậy ba đường thẳng $AC,BD,KE$ đồng quy tại $F$
