Bài 4:
a)
$Ax,By,CD$ là các tiếp tuyến của $\left( O \right)$
$\to\begin{cases}Ax\bot AB\\By\bot AB\\CD\bot OM\end{cases}$
Xét tứ giác $AOMC$, ta có:
$\widehat{CAO}=\widehat{CMO}=90{}^\circ $
$\to \widehat{CAO}+\widehat{CMO}=180{}^\circ $
$\to AOMC$ là tứ giác nội tiếp
b)
Ta có: $CD=CM+DM$
Mà: $\begin{cases}CM=CA\\DM=DB\end{cases}$ ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )
Nên: $CD=CA+DB$
Ta có:
$OA=OM=R$
$CA=CM$ ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )
$\to OC$ là đường trung trực của $AM$
$\to OC$ là tia phân giác $\widehat{AOM}$
Chứng minh tương tự, ta được:
$\,\,\,\,\,\,\,OD$ là tia phân giác $\widehat{BOM}$
Mà $\widehat{AOM}$ và $\widehat{BOM}$ là hai góc kề bù
Vậy $\widehat{COD}=90{}^\circ $
c)
$\Delta COD$ vuông tại $O$, có $OM$ là đường cao:
$\to MC.MD=O{{M}^{2}}$ ( hệ thức lượng )
Mà: $\begin{cases}MC=AC\,\,\,\left(\text{ tính chất hai tiếp tuyếnn cắt nhau }\right)\\MD=BD\,\,\,\left(\text{ tính chất hai tiếp tuyếnn cắt nhau }\right)\\OM=R\end{cases}$
Vậy $AC.BD={{R}^{2}}$
Bài 5:
a)
Xét tứ giác $ADHE$, ta có:
$\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90{}^\circ $
$\to \widehat{ADH}+\widehat{AEH}=180{}^\circ $
$\to ADHE$ là tứ giác nội tiếp
b)
Xét tứ giác $BEDC$, ta có:
$\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90{}^\circ $
$\to BEDC$ là tứ giác nội tiếp
c)
Vẽ tiếp tuyến $Ax$ như hình vẽ
Ta có:
$\,\,\,\,\,\,\,\widehat{xAC}=\widehat{ABC}$ ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung )
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ADE}$ ( vì $BEDC$ là tứ giác nội tiếp )
Nên $\widehat{xAC}=\widehat{ADE}$
Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong
$\to Ax\,\,||\,\,DE$
Mà $Ax\bot OA$ ( vì $Ax$ là tiếp tuyến )
Vậy $OA\bot DE$
