Câu 1:
$\frac{1}{a}$+ $\frac{1}{b}$= $\frac{1}{c}$
⇔ $\frac{a+b}{ab}$= $\frac{1}{c}$
⇔ c.( a+b)= ab
⇔ ab-ac-bc= 0
⇔ ab-ac-bc+c²= c²
⇔ a.( b-c)-c.( b-c)= c²
⇔ ( a-c).( b-c)= c²
Gọi ( a-c; b-c)= d
⇒ c²⋮ d²
⇒ c⋮ d
Mà a-c⋮ d, b-c⋮ d
⇒ a⋮ d, b⋮ d
Mà ( a; b; c)= 1
⇒ d= 1
Ta có: ( a-c).( b-c) là số chính phương ( =c²)
Mà ( a-c; b-c)= 1 ⇒ a-c và b-c là 2 số chính phương
Đặt a-c= x²
b-c= y²
⇒ c²= xy²
⇒ c= xy
Ta có: a+b= a-c+b-c-2c= x²+y²-2xy= ( x-y)²
⇒ a+b là số chính phương ( đpcm)
Bài 2:
x²+y²-13.( x-y)= 0
⇔ 4x²+4y²-13.4.( x-y)= 0
⇔ 4x²-13.4x+13²+4y²+13.4y+13²= 13²+13²
⇔ ( 2x-13)²+( 2y+13)²= 338
⇒ 338 là tổng cách số chính phương
Các số chính phương bé hơn 338 là: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169; 196; 225; 256; 289; 324
Dựa vào chữ số tận cùng, ta có thể lựa chọn cặp số thỏa mãn là: 49 và 289; 169 và 169
Th1: ( 2x-13)²= 49
⇔ 2x-13= 7 ⇔ x= 10
hoặc 2x-13= -7⇔ x= 3
và ( 2y+13)²= 289
⇔ 2y+13= 17 ⇔ y= 2
hoặc 2y+13= -17
⇔ y= -15
Th2: ( 2x-13)²= 289
⇔ 2x-13= 17 ⇔ x= 15
hoặc 2x-13= -17⇔ x= -2
và ( 2y+13)²= 49
⇔ 2y+13= 7 ⇔ y= -3
hoặc 2y+13= -7⇔ y -10
Th3: ( 2x-13)²= 169
⇔ 2x-13= 13 ⇔ x= 13
hoặc 2x-13= -13 ⇔ x= 0
và ( 2y+13)²= 169
⇔ 2y+13= 13 ⇔ y= 0
và 2y+13= -13 ⇔ y= -13
Vậy ....
Khá dài bạn ạ
