`a)` `AB=5cm; BC=13cm`
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AB^2=BH . BC` (hệ thức lượng)
`=>BH={AB^2}/{BC}={5^2}/{13}={25}/{13}≈1,923cm`
Vậy `BH≈1,923cm`
$\\$
`b)` Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HD\perp AB$
`=>AH^2=AD.AB`
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AC$
`=>AH^2=AE.AC`
$\\$
`=>AD.AB=AE.AC` (đpcm)
$\\$
`c)` `\hat{ACB}=α` (gt)
Vẽ trung tuyến `AM` của $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AM=CM=1/ 2 BC`
`=>∆MAC` cân tại $M$
`=>\hat{MAC}=\hat{MCA}=\hat{ACB}=α`
$\\$
`\qquad \hat{AMH}` là góc ngoài $∆MAC$
`=>\hat{AMH}=\hat{MAC}+\hat{MCA}=α+α=2α`
$\\$
Xét $∆AMH$ vuông tại $H$
`=>cos2α=cos\hat{AMH}={MH}/{AM}={CH-CM}/{CM}` (vì `AM=CM`)
`={CH}/{CM}-{CM}/{CM}={CH}/{1/ 2 BC}-1`
`={2CH}/{BC}-1` $(1)$
$\\$
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AC^2=CH.BC` (hệ thức lượng)
$\\$
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$
`=>cosα={CH}/{AC}`
`=>2cos^2 α-1=2 . {CH^2}/{AC^2}-1`
`={2 CH^2}/{CH. BC}-1={2CH}/{BC}-1` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>2cos^2α-1=cos2α` (đpcm)
