Đáp án:
Giải thích các bước giải: $AG$ cắt $BC$ tại $M ⇒ AG = 2GM$
Qua $B; C$ kẻ các đường thẳng song song với $AM$ cắt đường thẳng $GA_{1}$
theo thứ tự tại $D; E ⇒ DG = EG$ và $GM$ là đường trung bình của hình thang $BCED$
$⇒ BD + CE = 2GM = AG$
Ta có: $\frac{DG}{GC_{1}} = \frac{DC_{1} + GC_{1}}{GC_{1}} = \frac{DC_{1}}{GC_{1}} +1 = \frac{BD}{AG} + 1 (1)$
Lại có : $DG.(\frac{1}{GA_{1}} + \frac{1}{GB_{1}}) = \frac{DG}{GA_{1}} + \frac{EG}{GB_{1}} =\frac{DA_{1} - GA_{1}}{GA_{1}} + \frac{EB_{1} + GB_{1}}{GB_{1}}$
$ = \frac{DA_{1}}{GA_{1}} - 1 + \frac{EB_{1}}{GB_{1}} + 1 = \frac{BD}{GM} + \frac{CE}{AG} = \frac{2BD}{AG} + \frac{CE}{AG}(2)$
Lấy $(2) - (1): DG.(\frac{1}{GA_{1}} + \frac{1}{GB_{1}} - \frac{1}{GC_{1}}) = \frac{BD}{AG} + \frac{CE}{AG} - 1$
$ = \frac{BD + CE - AG}{AG} = 0 ⇒ \frac{1}{GA_{1}} + \frac{1}{GB_{1}} = \frac{1}{GC_{1}} (đpcm)$
