Lời giải:
Ta có:
$HK//BD$ (tính chất đường trung bình)
$\Rightarrow HK//(SBD)$
$\Rightarrow d(HK;SD)= d(HK;(SBD))= d(H;(SBD))$
Gọi $O$ là tâm của đáy
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD =\dfrac{a\sqrt2}{2}$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$+)\quad HD^2 = HA^2 + AD^2$
$\Rightarrow HD^2 = \dfrac{a^2}{4} + a^2$
$\Rightarrow HD^2 =\dfrac{5a^2}{4}$
$+)\quad SD^2 = HD^2 + SH^2$
$\Rightarrow SH^2 = SD^2 - HD^2$
$\Rightarrow SH^2 = \dfrac{17a^2}{4} - \dfrac{5a^2}{4}$
$\Rightarrow SH^2 = 3a^2$
Từ $H$ kẻ $HM\perp BD$
$\Rightarrow\begin{cases}HM//AO\\HM =\dfrac12AO= \dfrac{a\sqrt2}{4}\end{cases}$
Ta có:
$\begin{cases}BD\perp HM\quad \text{(cách dựng)}\\SH\perp BD\quad (SH\perp (ABCD))\end{cases}$
$\Rightarrow BD\perp (SHM)$
Trong $mp(SHM)$ kẻ $HN\perp SM$
$\Rightarrow BD\perp HN$
Khi đó:
$\begin{cases}HN\perp BD\quad (cmt)\\HN\perp SM\quad \text{(cách dựng)}\end{cases}$
$\Rightarrow HN\perp (SBD)$
$\Rightarrow HN = d(H;(SBD))$
Áp dựng hệ thức lượng trong $\triangle SHM$ vuông tại $H$ đường cao $HN$ ta được:
$\dfrac{1}{HN^2}=\dfrac{1}{SH^2} +\dfrac{1}{HM^2}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{HN^2}= \dfrac{1}{3a^2} + \dfrac{1}{\dfrac{a^2}{8}}$
$\Rightarrow HN= \dfrac{a\sqrt3}{5}$
Vậy $d(HK;SD)=\dfrac{a\sqrt3}{5}$
