Giải thích các bước giải:
1.Xét $\Delta ABE,\Delta ABF$ có:
Chung $\hat A$
$\widehat{ABE}=\widehat{AFB}$ vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to\Delta ABE\sim\Delta AFB(g.g)$
$\to\dfrac{AB}{AF}=\dfrac{AE}{AB}$
$\to AB^2=AE.AF$
2.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC\to BI\perp AO$
Mà $AB\perp OB$
$\to AB^2=AI.AO$
$\to AE.AF=AI.AO$
3.Xét $\Delta AEI,\Delta AOF$ có:
Chung $\hat A$
$\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AI}{AF}$ vì $AE.AF=AI.AO$
$\to\Delta AEI\sim\Delta AOF(c.g.c)$
$\to \widehat{AIE}=\widehat{AFO}$
$\to EIOF$ nội tiếp
$\to \widehat{MIF}=\widehat{OIF}=\widehat{OEF}=\widehat{OFE}=\widehat{EIN}$
4.Ta có $H$ là trung điểm $EF\to OH\perp EF$
$\to \widehat{OHA}=\widehat{OIK}(=90^o)$
Mà $\widehat{HOA}=\widehat{KOI}$
$\to\Delta OHA\sim\Delta OIK(g.g)$
$\to \dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OA}{OK}$
$\to OH.OK=OI.OA$
Mà $AB\perp BO, BI\perp AO\to OI.OA=OB^2$
$\to OH.OK=OB^2=OF^2$
$\to\dfrac{OH}{OF}=\dfrac{OF}{OK}$
Ta có $\widehat{FOH}=\widehat{KOF}$
$\to\Delta OFH\sim\Delta OKF(c.g.c)$
$\to \widehat{OFK}=\widehat{OHF}=90^o$
Do $OK\perp EF\to OK$ là trung trực của $EF$
$\to\widehat{KEO}=\widehat{KFO}=90^o$
$\to KE$ là tiếp tuyến của $(O)$
