$(P) y =x^2 ; (d): y = x + m - 1$
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$
$x^2 = x + m - 1 ⇔ x^2 - x - m + 1 =0 (1)$
có $Δ = (-1)^2 - 4(-m + 1)$
⇔ $\Delta = 1 + 4m - 4$
⇔ $\Delta = 4m - 3$
Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
⇔ $\Delta \geq 0$ hay $4m - 3 > 0 ⇔ m \geq \dfrac{3}{4}$
Khi đó áp dụng hệ thức Viet ta có:
$x_1 + x_2 = 1$
$x_1x_2 = -m + 1$
a) $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt nằm ở bên phải trục tung
⇒ Pt (1) có hai nghiệm $x_1;x_2$ cùng dương
⇒ $x_1x_2 = -m + 1 >0$ ⇔ $-m + 1> 0 ⇒ m < 1 $
Kết hợp với điều kiện của $m$ ta có $\dfrac{3}{4} \leq m < 1$
b) $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thỏa mãn
$x_1 - x_2 = 5$
Ta phải tìm $m$ thỏa mãn $\begin{cases} m \geq \dfrac{3}{4} \\ x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 - x_2 = 5 \\ x_1x_2 = -m + 1 \\\end{cases}$
Ta có$\begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 - x_2 = 5 \\\end{cases}$
Giải hệ này ta có $(x_1;x_2) = (3;-2)$
⇒ $3(-2) = -m + 1 ⇔ -m + 1 = -6 ⇔ m = 7 (T/m)$
c) $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt
$\begin{cases} x_1 < 1 \\x_2 > 1 \\\end{cases}$
⇒ $\begin{cases} x_1 - 1 < \\ x_2 - 1 > 0\\\end{cases}$
⇒ $(x_1 - 1)(x_2 - 1) < 0 $
⇔ $x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 < 0$
⇒ $-m + 1- 1 + 1 <0$
⇔ $m > 1$ Kết hợp với điều kiện của $m$ ta có $m > 1$
d) $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt
$\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 2(m \leq 1)$
⇒ $x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1x_2} = 4$
⇒ $1 + 2\sqrt{-m+1} = 4$
⇔$\sqrt{-m + 1} = \dfrac{3}{2}$
⇒ $-m + 1 = \dfrac{9}{4} (m \leq 1)$
⇔$ m = \dfrac{-5}{4} (Loại)$
Vậy không có $m$ thỏa mãn
