$a)$
$\widehat{MOB}=90° ; \widehat{MHB}=90°$
Tứ giác $BOMH$ có tổng hai góc đối : $\widehat{MOB}+\widehat{MHB}=180°$
$⇒BOMH$ nội tiếp
$b)$
$BOMH$ nội tiếp $⇒\widehat{MHO}=\widehat{MBO}$
Và $\widehat{BMO}=\widehat{BHO}$
Mà $\widehat{MBO}=\widehat{BMO}$
$⇒\widehat{MHO}=\widehat{BHO}$
$⇒HE$ là tia phân giác $\widehat{MHB}$
$⇒\dfrac{ME}{EB}=\dfrac{MH}{HB}$
Xét hai tam giác : $ΔMHC$ và $ΔBHM$ có :
$\widehat{MHC}=\widehat{BHM}$
$\widehat{HMC}=\widehat{HBM}$
$⇒ΔMHC~ΔBHM ( g.g )$
$⇒\dfrac{MH}{HB}=\dfrac{HC}{MH}$
$⇒\dfrac{ME}{BE}=\dfrac{HC}{MH}$
$⇒ME.MH=BE.HC$
$c)$ Ta có : $\widehat{AMB}=\widehat{ABN}=90°$
$⇒AM//BN$ hay $AC//BN ⇒\widehat{MCE}=\widehat{BNE}$
Xét hai tam giác : $ΔMCE$ và $ΔBNE$ có :
$\widehat{MCE}=\widehat{BNE}$
$\widehat{CME}=\widehat{NBE}$
$⇒ΔMCE~ΔBNE ( g.g )$
$⇒\widehat{MEC}=\widehat{BEN}$
$⇒N ; E ; C$ thẳng hàng $(1)$
Ta có : $\widehat{MKN}+\widehat{MKC}=90°+90°=180°$
$⇒M ; K ; C$ thẳng hàng $(2)$
Từ $(1)$ và $(2) ⇒ E ; K ; C$ thẳng hàng
