Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Gọi E là trung điểm của BC, F là hình chiếu của E lên SA thì \(BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot EF\) và \(EF \bot SA\) nên
\(d\left( {SA,BC} \right) = EF = \frac{{3a}}{{2\sqrt 7 }}\) và \(\widehat {SEO} = {60^0}\).
Đặt \(AB = x \Rightarrow AE = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OE = \frac{1}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}\)
\( \Rightarrow SE = \frac{{OE}}{{\cos 60}} = 2OE = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}\) và \(SA = SB = \sqrt {S{E^2} + E{B^2}} = \sqrt {\frac{{3{x^2}}}{9} + \frac{{{x^2}}}{4}} = \frac{{x\sqrt {21} }}{6}\)
Chiều cao \(SO = SE\sin {60^0} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{x}{2}\)
Có \(SO.AE = EF.SA \Rightarrow \frac{x}{2}.\frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{{2\sqrt 7 }}.\frac{{x\sqrt {21} }}{6} \Rightarrow x = a\)
Vậy \(V = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
