Bài 4:
Cách 1:
Ta có `BĐT` sau: `\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{(a+b)^2}{x+y}` `(∀x,y>0)`
Chứng minh:
Giả sử `\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq\frac{(a+b)^2}{x+y}` `(∀x,y>0)`
`⇔\frac{a^2.y}{x.y}+\frac{b^2.x}{y.x}\geq\frac{a^2+2ab+b^2}{x+y}`
`⇔\frac{a^2y+b^2x}{x.y}\geq\frac{a^2+2ab+b^2}{x+y}`
`⇔(a^2y+b^2x)(x+y) \geq(a^2+2ab+b^2).xy`
`⇔a^2y^2+b^2x^2-2ab.xy\geq0`
`⇔(ay-bx)^2\geq0` ( giả sử đúng )
Dấu `''=''` xảy ra khi `ay = bx⇔\frac{a}{x}=\frac{b}{y}.``(∀x,y>0)`
Áp dụng điều chứng minh trên ta có:
`A=1/b+1/b`
`⇔A=1^2/b+1^2/b\ge\frac{(1+1)^2}{a+b}=\frac{2^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}.`
Dấu `''=''` xảy ra khi `1/a = 1/b⇔a=b.``(∀a,b>0)`
Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ''='' xảy ra khi `a=b.`
Cách 2:
Giả sử bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương `a,b`
`1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}`
`⇔ \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`
`⇔ \frac{a+b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`
`⇔ (a+b)(a+b) \ge 4ab`
`⇔ (a+b)^2 \ge 4ab`
`⇔ a^2+2ab+b^2 \ge 4ab`
`⇔ a^2+2ab+b^2 - 4ab \ge 0`
`⇔ a^2 - 2ab+b^2 \ge 0`
`⇔ (a-b)^2 \ge 0` (luôn đúng ⇒ giả sử đúng )
Dấu `''=''` xảy ra khi `(a-b)^2⇔a-b=0⇔a=b.``(∀x,y>0)`
Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ''='' xảy ra khi `a=b.`
Cách 3:
Ta có: `(a-b)^2 \ge 0 `
`⇔a^2-2ab+b^2 \ge 2ab`
`⇔a^2+b^2 \ge 2ab`
`⇔a^2+2ab+b^2 \ge 2ab+2ab`
`⇔(a+b)^2\ge4ab`
`⇔ (a+b)^2. \frac{1}{ab.(a+b)}\ge4ab. \frac{1}{ab.(a+b)}`
`⇔ \frac{(a+b)^2}{ab.(a+b)} \ge \frac{4ab}{ab.(a+b)}`
`⇔ \frac{a+b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`
`⇔ \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} \ge \frac{4}{a+b}`
`⇔ 1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}` $(đpcm).$
Dấu `''=''` xảy ra khi `a=b.``(∀x,y>0)`
Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ''='' xảy ra khi `a=b.`
Cách 4:
Ta có: `a^2-2ab+b^2\ge 0 `
`⇔a^2+b^2\ge 2ab `
`⇔ ab(a^2+b^2)\ge 2ab.ab `
`⇔ a^3b+ab^3 \ge 2a^2b^2. `
`(1/a-1/b)^2 \ge 0 `
`⇔ 1/a^2 - \frac{2}{ab} + 1/b^2 \ge 0 `
`⇔ 1/a^2 + 1/b^2 \ge \frac{2}{ab}. `
`⇔(1/a^2 + 1/b^2). \frac{1}{ab}\ge \frac{2}{ab}. \frac{1}{ab}`
`⇔ \frac{1}{a^3b}+ \frac{1}{ab^3}\ge \frac{2}{a^2b^2} `
`⇔ \frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{2.2}{2a^2b^2}`
Lại có: ` a^3b+ab^3 \ge 2a^2b^2 ⇒ \frac{2.2}{2a^2b^2} \ge \frac{2.2}{a^3b+ab^3}.`
`⇒\frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{2.2}{a^3b+ab^3}`
`⇔ \frac{1}{a^2b^2}.(1/a+ 1/b) \ge \frac{1}{a^2b^2}.\frac{4}{a+b}. `
`⇔ 1/a + 1/b \ge \frac{4}{a+b}` $(đpcm).$
Dấu `''=''` xảy ra khi `a=b.``(∀x,y>0)`
Vậy `A=1/a+1/b\ge\frac{4}{a+b}.`, dấu ''='' xảy ra khi `a=b.`
Bài 3:
`a) ` Áp dụng định lý $Talet$ vào `∆ABC` có $ED//BC:$
`\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}` ( hệ quả )
Thay số: `\frac{10}{15}=\frac{8}{AE}=\frac{12}{DE}`
`⇔ \frac{2}{3}=\frac{8}{AE}=\frac{12}{DE}`
`⇒ 10.AE=8.15⇔AE=8.15:10=12.`
`⇒ 10.DE=12.15⇔DE=12.15:10=18.`
Vậy `AE=12 (cm), DE= 18 (cm).`
`b)` Có: `ED//BC⇒\hat{BCF}=\hat{FDE} ` ( hai góc so le trong )
Xét `∆FBC` và `∆FED` có:
` \hat{BCF}=\hat{FDE} ` $(cmt)$
` \hat{BFC}=\hat{EFD} ` ( hai góc đối đỉnh )
`⇒ ∆FBC ∼ ∆FED (g.g)`
Vậy ` ∆FBC ∼ ∆FED (g.g).`
`c)` Xét ` ∆EAP` có $BC//AP$:
`⇒ \frac{BC}{AP}=\frac{EC}{AE}` ( hệ quả định lí $Talet$ ) (1)
Xét ` ∆DAQ` có $BC//AQ$:
`⇒ \frac{BC}{AQ}=\frac{DB}{DA}` ( hệ quả định lí $Talet$ ) (2)
Mà theo hệ quả định lí $Talet$ trong `∆ABC` có $ED//BC:$ thì:
`⇒ \frac{EC}{AE}=\frac{DB}{DA}(=\frac{DE}{BC})` (3)
Từ `(1),(2),(3) ⇒ \frac{BC}{AP}=\frac{BC}{AQ}`
Mà `BC>0 ⇒ AP= AQ (đpcm)`
Vậy `AP= AQ (đpcm).`
Tham khảo hình.
