a) Ta có $IM,IN$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\Rightarrow\begin{cases}OM\perp IM\Rightarrow \widehat{OMI} = 90^o \\ON\perp IN\Rightarrow \widehat{ONI} = 90^o\end{cases}$
Xét tứ giác $IMON$ có:
$\widehat{OMI} + \widehat{ONI} = 180^o$ mà chúng ở vị trí đối nhau
Do đó $IMON$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $(OI)$

b) K đối xứng M quá O suy ra M, O, K thẳng hàng, MK là đường kính của (O)

$\Rightarrow IHM=\widehat{MHK}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat{IMK}=\widehat{IMO}=90^o$

Xét $ΔIHM$ và $ΔIMK$ có:

$\widehat{I}$ chung

$\widehat{IHM} = \widehat{IMK}=90^o$

Do đó $ΔIHM\sim ΔIMK$ $(g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{IH}{IM} = \dfrac{IM}{IK}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

và có $IM=IN$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Hay $IM.IN = IH.IK$

c) Ta có: $IM = IN$, $OM=ON=R$

$⇒ OI$ là đường trung trực của $MN$, gọi $P=OI\cap MN$

$⇒\widehat{MQI} = 90^o$

Ta lại có: $\widehat{MHI} = 90^o$

$Q, H$cùng nhìn cạnh $MI$ dưới một góc là $90^o$

nên $MQHI$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $(MI)$

$⇒ \widehat{MIH} = \widehat{HQN}$ (cùng bù $\widehat{MQH}$) (1)

Ta có:
$\begin{cases}OM\perp IM\\NP\perp MK\end{cases} \Rightarrow IM//NP$ 

$D$ là giao điểm của $IK$ và $NP$

$⇒ \widehat{MIH} = \widehat{IDN}$ (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow\widehat{IDN} = \widehat{HQN}$

$\Rightarrow D, Q$ cùng nhìn cạnh $HN$ dưới một góc bằng nhau

$⇒ HQDN$ là tứ giác nội tiếp

$⇒ \widehat{QDH} = \widehat{QNH}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $QH$)

Ta lại có: $\widehat{QNH} = \widehat{MKH}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $MH$ của (O))

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{QDH} = \widehat{MKH}$ mà chúng ở vị trí đồng vị

nên $MK//QD$

$\Delta NMP$ có $QD//MP, Q$ là trung điểm của $MN$

$\Rightarrow D$ là trung điểm của $PN$ (tính chất đường trung bình)

Vậy $IK$ đi qua trung điểm của $NP$.