Đáp án:
`m=-1` thì `A_{min}=2018`
Giải thích các bước giải:
`\qquad x^2-(m+1)x+m=0`
Ta có: `a=1;b=-(m+1);c=m`
`∆=b^2-4ac=[-(m+1)]^2-4.1.m`
`=m^2+2m+1-4m=m^2-2m+1`
`=(m-1)^2\ge 0` với mọi `m`
`=>` Phương trình luôn có hai nghiệm `x_1;x_2` với mọi `m`
Theo hệ thức Viet ta có:
$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=m+1\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m\end{cases}$
Ta có:
`A=x_1^2 x_2+x_1x_2^2+x_1x_2+2019`
`A=x_1x_2(x_1+x_2+1)+2019`
`A=m.(m+1+1)+2019`
`A=m^2+2m+2019`
`A=(m^2+2m+1)+2018`
`A=(m+1)^2+2018`
Với mọi `m` ta có:
`\qquad (m+1)^2\ge 0`
`<=>(m+1)^2+2018\ge 2018`
`<=>A\ge 2018`
Dấu "=" xảy ra khi `(m+1)^2=0<=>m=-1`
Vậy khi `m=-1` thì $A$ đạt $GTNN$ bằng $2018$