Gọi M là trung điểm của AB => OM vuông góc với AB.
(O’) đi qua AB => O’ thuộc trung trực của AB
=> O’M là trung trực của AB.
Tam giác ABE đều => E thuộc O’M
=> O, M, O’, E thẳng hàng.
Tam giác ABE đều cạnh A \( \Rightarrow EM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow OE = \frac{2}{3}EM = \frac{2}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) = bán kính đường tròn (O’).
Bán kính đường tròn (O) là \(OA = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{AB\sqrt 2 }}{2}\).
Rõ ràng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} > \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \frac{{AB\sqrt 2 }}{2} > \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}\)
=> (O) là đường tròn lớn.
Bán kính đường tròn nhỏ là R \( \Rightarrow \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} = R \Leftrightarrow AB = R\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow {R_O} = \frac{{AB\sqrt 2 }}{2} = \frac{{R\sqrt 3 .\sqrt 2 }}{2} = \frac{{R\sqrt 6 }}{2}\).
