Đáp án:
1) $x=1$
2) $x=-\dfrac{1}{2}$
3) $x=81+10\sqrt{59}$
4) $x=5\pm \sqrt{33}$
Giải thích các bước giải:
1) $\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}-5x+4}=2\sqrt{{{x}^{2}}-6x+5}$ ĐK: $\begin{cases}x^2-3x+2\ge 0\\x^2-5x+4\ge 0\\x^2-6x+5\ge 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}-\sqrt{{{x}^{2}}-6x+5} \right)+\left( \sqrt{{{x}^{2}}-5x+4}-\sqrt{{{x}^{2}}-6x+5} \right)=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)-\left( {{x}^{2}}-6x+5 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}-6x+5}}+\dfrac{\left( {{x}^{2}}-5x+4 \right)-\left( {{x}^{2}}-6x+5 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-5x+4}+\sqrt{{{x}^{2}}-6x+5}}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{3\left( x-1 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}-6x+5}}+\dfrac{x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-5x+4}+\sqrt{{{x}^{2}}-6x+5}}=0$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( \dfrac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}-6x+5}}+\dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-5x+4}+\sqrt{{{x}^{2}}-6x+5}} \right)=0$
$\Leftrightarrow x=1$ (vế sau luôn dương)
So với điều kiện, nhận $x=1$
2) $\sqrt{{{x}^{2}}-x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}=\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}+\sqrt{{{x}^{2}}+3x+7}$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+2}-\sqrt{{{x}^{2}}+x+3} \right)+\left( \sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}-\sqrt{{{x}^{2}}+3x+7} \right)=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+3 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}+\dfrac{\left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)-\left( {{x}^{2}}+3x+7 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}+\sqrt{{{x}^{2}}+3x+7}}=0$
$\Leftrightarrow \dfrac{-2x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}+\dfrac{3\left( -2x-1 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}+\sqrt{{{x}^{2}}+3x+7}}=0$
$\Leftrightarrow \left( -2x-1 \right)\left( \dfrac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+2}+\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}}+\dfrac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+4}+\sqrt{{{x}^{2}}+3x+7}} \right)=0$
$\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$ (vế sau luôn dương)
3) $\sqrt{x+3}+\sqrt{2x-3}=\dfrac{x-6}{5}$ (ĐK:$x\ge 6$)
Đặt: $\begin{cases}a=\sqrt{x+3}\,\,\,\left(a>0\right)\\b=\sqrt{2x-3}\,\,\,\left(b>0\right)\end{cases}\Rightarrow b^2-a^2=x-6$
Pt $\Leftrightarrow 5\left( a+b \right)={{b}^{2}}-{{a}^{2}}$
$\Leftrightarrow 5\left( a+b \right)+\left( a-b \right)\left( a+b \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( a+b \right)\left( 5+a-b \right)=0$
$\Leftrightarrow 5+a-b=0$ (vì $a+b>0$)
$\Leftrightarrow b=a+5$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x-3}=\sqrt{x+3}+5$
$\Leftrightarrow 2x-3=x+3+25+10\sqrt{x+3}$
$\Leftrightarrow 10\sqrt{x+3}=x-31$
$\Leftrightarrow 100x+300={{x}^{2}}-62x+961$ $\left( x\ge 31 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-162x+661=0$
$\Leftrightarrow x=81+10\sqrt{59}$ (nhận) hoặc $x=81-10\sqrt{59}$ (loại)
4) $\sqrt{{{x}^{3}}+1}=\dfrac{3}{10}\left( {{x}^{2}}+2 \right)$ (ĐK: $x\ge -1$)
$\Leftrightarrow 10\sqrt{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}=3\left( {{x}^{2}}+2 \right)$
Đặt: $\begin{cases}a=\sqrt{x+1}\\b=\sqrt{x^2-x+1}\end{cases}\Rightarrow a^2+b^2=x^2+2$
Pt $\Leftrightarrow 10ab=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$
$\Leftrightarrow \left( 3a-b \right)\left( a-3b \right)=0$
$\Leftrightarrow 3a=b$ hoặc $a=3b$
$\Leftrightarrow 3\sqrt{x+1}=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$ hoặc $\sqrt{x+1}=3\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}$
$\Leftrightarrow 9\left( x+1 \right)={{x}^{2}}-x+1$ hoặc $x+1=9\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-10x-8=0$ hoặc $9{{x}^{2}}-10x+8=0$ (VN)
$\Leftrightarrow x=5\pm \sqrt{33}$ (thỏa mãn)
