$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} Ta\ có\ :\ x;y\ là\ số\ tự\ nhiên\ và\ \sqrt{x} -\sqrt{y} \ là\ số\ hữu\ tỉ\ ( x\#y) \ \\ Chứng\ minh\ mệnh\ đề\ :\ số\ tự\ nhiên\ a\ không\ là\ số\ chính\ phương\ \\ thì\ \sqrt{a} \ là\ số\ vô\ tỉ\ \\ *( \ Chị\ chứng\ minh\ luôn\ nha) \ :\ \\ Giả\ sử\ \sqrt{a} \ là\ số\ hữu\ tỉ\ thì\ có\ thể\ viết\ được\ dưới\ dạng\ \sqrt{a} =\frac{m}{n} \ \\ ( m;n\#0;\ thuộc\ N\ và\ ( mn) =1) \ \\ Do\ \\ a\ không\ là\ số\ chính\ phương\ nên\ \frac{m}{n} \ không\ là\ số\ tự\ \\ nhiên\ nên\ m^{2} \ chia\ hết\ cho\ n^{2}\\ .Gọi\ p\ là\ một\ ước\ nguyên\ tố\ nào\ đó\ của\ n,\ thế\ thì\ m^{2} \ chia\ hết\ cho\ p.\\ Do\ đó\ :\ m\ chia\ hết\ cho\ p.\ Vậy\ p\ là\ ước\ nguyên\\ \ tố\ nào\ đó\ của\ n\ và\ m\ \\ Trái\ với\ ( m;n) =1\ \rightarrow dpcm\ \\ *\ Tổng\ hiệu\ tích\ phương\ của\ hai\ số\ hữu\ tỉ\ là\ số\ hữu\ tỉ\ \\ Do\ đó\ \sqrt{x} -\sqrt{y} \ là\ một\ số\ hữu\ tỉ\ khi\ \sqrt{x} \ và\ \sqrt{y\ } \ là\ số\ hữu\ tỉ\ \\ \left( \ số\ hữu\ tỉ\ cũng\ là\ số\ tự\ nhiên\ được\ viết\ dưới\ dạng\ \frac{a}{1} \ á\ nha\ \right) \ \\ Vì\ theo\ đề\ bài\ là\ x;y\ là\ số\ tự\ nhiên\ nên\ \\ \sqrt{x} \ và\ \sqrt{y} \ là\ số\ tự\ nhiên\ \\ hay\ x\ và\ y\ là\ hai\ số\ chính\ phương\ \\ \\ \end{array}$
