Đặt điều phải chứng minh là $(1)$
Đặt $a=x+2, b=y+2,c=z+2$ với $x,y,z>0$
Khi đó $xyz\le 1$ với $x,y,z$ là các số dương và
$\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{y + 2}} + \dfrac{1}{{z + 2}} = 1$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 2 số ta được:
$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{z + 2}} = 1 - \left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{y + 2}}} \right)\\
= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{x + 2}} + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{{y + 2}}} \right)\\
= \dfrac{x}{{2\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{y}{{2\left( {y + 2} \right)}} \ge \sqrt {\dfrac{{xy}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right)}}} \\
TT:\dfrac{1}{{y + 2}} \ge \sqrt {\dfrac{{xz}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} ;\dfrac{1}{{x + 2}} \ge \sqrt {\dfrac{{yz}}{{\left( {y + 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}}
\end{array}$
Nhận từng vế bất đẳng thức trên ta được:
$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right)\left( {z + 2} \right)}} \ge \dfrac{{xyz}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {y + 2} \right)\left( {z + 2} \right)}}\\ \Rightarrow xyz \le 1 \end{array}$
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=3$
