Đáp án:
$\min A = 6 \Leftrightarrow x =y = z =1$
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}A = \dfrac{3 + x^2}{y+ z} + \dfrac{3 + y^2}{z + x} + \dfrac{3 + z^2}{x + y}\\ \to A = \dfrac{3}{y+ z} + \dfrac{3}{z+ x} + \dfrac{3}{x+y} + \dfrac{x^2}{y+z} + \dfrac{y^2}{z+x} + \dfrac{z^2}{x+y}\\ \text{Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta được:}\\ A = 3\left(\dfrac{1}{y+ z} + \dfrac{1}{z+ x} + \dfrac{1}{x+y}\right) + \dfrac{x^2}{y+z} + \dfrac{y^2}{z+x} + \dfrac{z^2}{x+y}\\ \geq 3\cdot\dfrac{(1+1+1)^2}{2(x+y+z)} + \dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\\ \to A \geq 3\cdot\dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}+ \dfrac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}\\ \to A \geq 2\cdot\dfrac{(x+y+z)^2}{x+y+z} = 2(x+y+z) = 2\cdot3 = 6\\ \text{Dấu = xảy ra} \Leftrightarrow x = y = z = 1\\ Vậy\,\,\min A = 6 \Leftrightarrow x =y = z =1 \end{array}$
