$\begin{array}{l}1)\quad y = f(x) = \dfrac{2x+1}{2x-1}\qquad (C)\\ +)\quad TXĐ: D = \Bbb R \backslash\left\{\dfrac12\right\}\\ +)\quad \text{Giới hạn và tiệm cận:}\\ \lim\limits_{x\to \infty} y = \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2x+1}{2x-1}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2+\dfrac1x}{2-\dfrac1x} =\dfrac{2+0}{2-0} =1\\ \to \text{Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $y = 1$ làm tiệm cận đứng}\\ \lim\limits_{x\to \left(\frac12\right)^+}y = +\infty;\quad \lim\limits_{x\to \left(\frac12\right)^-}y = -\infty\\ \to \text{Đồ thị hàm số nhận đường thẳng $x = \dfrac{1}{2}$ làm tiệm cận ngang}\\ +)\quad \text{Chiều biến thiên:}\\ \quad y ' = \dfrac{-4}{(2x -1)^2} <0\quad \forall x \in D\\ \to \text{Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định}\\ \to \text{Hàm số không có cực trị}\\ +) \quad \text{Bảng biến thiên:}\\ \begin{array}{|l|cr|} \hline x & -\infty & & & & & \dfrac{1}{2} & & & & & +\infty\\ \hline y' & & & -& & & \Vert & & &-& &\\ \hline &1&&&&&\Vert&+\infty&&&\\ y & &&\searrow& &&\Vert & & &\searrow\\ &&&&&-\infty&\Vert&&&&&1\\ \hline \end{array}\\ +)\quad \text{Đồ thị hàm số:}\\ \text{Ta có bảng giá trị:}\\ \begin{array}{|c|c|} \hline x & -2&-\dfrac32&-\dfrac12&0&1&\dfrac32&\dfrac52\\ \hline y&\dfrac35&\dfrac12&0&-1&3&2&\dfrac32\\ \hline \end{array}\\ \text{- Đồ thị giao với trục hoành tại}\,\,\left(-\dfrac12;0\right)\\ \text{- Đồ thị giao với trục tung tại}\,\,\left(0;-1\right)\\ \text{- Đồ thị nhận giao điểm $I\left(\dfrac12;1\right)$ làm tâm đối xứng}\\ 2)\quad \text{Phương trình hoành độ giao điểm giữa $(C)$ và $(d):y = x + 2$}\\ \quad \dfrac{2x+1}{2x-1}=x+2\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = (2x-1)(x+2)\\ \Leftrightarrow 2x^2 + x - 3 =0\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 1\longrightarrow y = 3\\x = -\dfrac32\longrightarrow y = -\dfrac12\end{array}\right.\\ \text{Vậy đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng $y = x+2$ cắt nhau tại hai điểm}\\ (1;3);\quad \left(-\dfrac32;-\dfrac12\right) \end{array}$

$y=\dfrac{2x+1}{2x-1}\\ y'=\dfrac{-4}{(2x-1)^2} < 0 \forall x \ne \dfrac{1}{2}$

Hàm nghịch biến trên $\left(-\infty;\dfrac{1}{2}\right); \left(\dfrac{1}{2};\infty\right) $

$\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2x+1}{2x-1}=\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{2-\dfrac{1}{x}}=1\\ \lim\limits_{x\to \tfrac{1}{2}}\dfrac{2x+1}{2x-1}= \infty$

$=>$Hàm số có $TCĐ\, x=\dfrac{1}{2}$ và $TCN \,y=1$

$BTT\\x \mid -\infty \hspace{1.45cm} \tfrac{1}{2} \hspace{1.45cm} \infty\\ \overline{y'|\qquad-\qquad \mid\mid \qquad - \,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\ \overline{y\,\,| \quad 1\displaystyle\searrow_{-\infty} \quad\mid\mid \quad +{\infty} \displaystyle\searrow_{1} \,}\\$

Giao với $Oy :A(0;-1) $

Giao với $Ox: B\left(\dfrac{-1}{2};0\right) $

Hàm số có $TCĐ\, x=\dfrac{1}{2}$ và $TCN \,y=1$

Tiến hành vẽ qua các điểm và đường tiệm cận trên

$2)$Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình
$\dfrac{2x+1}{2x-1}=x+2\\ <=>\left[\begin{array}{l} x=1\\x=-1,5\end{array} \right.\\ =>\left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} x=1\\y=3\end{array} \right.\\\left\{\begin{array}{l} x=-1,5\\y=-\dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Vậy $y=\dfrac{2x+1}{2x-1}$ cắt $y=x+2$ tại 2 điểm $(1;3);(-1,5;-0,5)$