Giải thích các bước giải:
a) Xét ΔAHB và ΔADH, ta có:
$\widehat{AHB}$=$\widehat{ADH}$=90 độ
$\widehat{ABH}$=$\widehat{AHD}$ (cùng phụ với $\widehat{BAH}$)
⇒ ΔAHB đồng dạng ΔADH (góc.góc)
⇒ $\frac{AH}{AD}=\frac{AB}{AH}$ (tỉ lệ)
⇔AH²=AD.AB (đpcm)
b) Xét ΔAHE và ΔACH, ta có:
$\widehat{AEH}$=$\widehat{AHC}$=90 độ
$\widehat{HAC}$ chung
⇒ΔAHE đồng dạng ΔACH (góc.góc)
⇒$\frac{AH}{AC}=\frac{AE}{AH}$
⇒AH²=AC.AE
mà AH²=AD.AB (câu a)
Suy ra AC.AE=AD.AB (đpcm)
Xét ΔAED và ΔABC, ta có:
$\widehat{EAD}$ chung
$\frac{AE}{AB}= \frac{AD}{AC}$
⇒ΔAED đồng dạng ΔABC (cạnh.góc.cạnh)
c) Gọi O là giao điểm của AM và DE
ADHE có $\widehat{A}$=$\widehat{D}$=$\widehat{E}$=90 độ nên ADHE là hình chữ nhật.
⇒$\widehat{ADE}$=$\widehat{DEH}$ (so le trong) mà $\widehat{DEH}$=$\widehat{AHE}$ (tính chất hình chữ nhật tạo ra 4 tam giác cân)
⇒$\widehat{ADE}$=$\widehat{AHE}$
$\widehat{ADE}$=$\widehat{MAE}$(cùng phụ $\widehat{DAM}$) ⇒$\widehat{MAE}$=$\widehat{AHE}$ (1)
ta có $\widehat{AHE}$=$\widehat{C}$ (cùng phụ $\widehat{EHC}$) (2)
(1) và (2) ⇒$\widehat{C}$=$\widehat{MAE}$ ⇒ ΔMAC cân tại M ⇒AM=MC (3)
Ta có $\widehat{B}$ phụ với $\widehat{C}$ và $\widehat{BAM}$ phụ với $\widehat{MAC}$ mà $\widehat{C}$=$\widehat{MAC}$
nên $\widehat{B}$=$\widehat{BAM}$ ⇒ΔABM cân tại M ⇒AM=BM (4)
(3) và (4) ⇒MB=MC hay M là trung điểm BC (đpcm)
d) ΔABC vuông tại A, áp dụng Pytago:
BC=$\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$
⇒ BC=25
Ta chứng minh được ΔABC đồng dạng Δ HAC
⇒$\frac{AB}{AH}=\frac{BC}{AC}$
⇒ AH=$\frac{AC.AB}{BC}$ =$\frac{15.20}{25}$=12
AH²=AD.AB (câu a) ⇒AD=$\frac{AH^{2}}{AB}$ =$\frac{12^{2}}{15}$=9,6
Ta có AD.AB=AE.AC (câu b)
⇒AE=$\frac{AD.AB}{AC}$ =$\frac{9,6.15}{20}$=7,2
Diện tích ΔAED=$\frac{1}{2}.AD.AE$ =34,56.
