Cách 1: Vẽ $MH\perp AB$ tại $H$; $MK\perp AC$ tại $K$
`=>MH`//$AC$ (vì cùng $\perp AB$)
`=>\hat{BMH}=\hat{MCK}` (hai góc đồng vị)
`\qquad \hat{AMH}=\hat{MAK}` (hai góc so le trong)
$\\$
Xét $∆BMH$ và $∆MCK$ có:
`\qquad \hat{BHM}=\hat{MKC}=90°`
`\qquad BM=MC` (vì $M$ là trung điểm $BC$)
`\qquad \hat{BMH}=\hat{MCK}` (c/m trên)
`=>∆BMH=∆MCK` (ch-gn)
`=>MH=CK` (hai cạnh tương ứng) $(1)$
$\\$
Xét $∆AMH$ và $∆MAK$ có:
`\qquad \hat{AHM}=\hat{MKA}=90°`
`\qquad AM` là cạnh chung
`\qquad \hat{AMH}=\hat{MAK}` (c/m trên)
`=>∆AMH=∆MAK` (ch-gn)
`=>MH=AK` (hai cạnh tương ứng) $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>AK=CK`
Xét $∆MAC$ có:
`\qquad `$MK\perp AC$
`\qquad AK=CK`
`=>` $MK$ vừa là đường cao và đường trung tuyến
`=>∆MAC` cân tại $M$
`=>AM=MC`
Mà `MC=1/2BC` (do $M$ là trung điểm $BC$)
`=>AM=1/2BC` (đpcm)
$\\$
Cách 2:
Trên cạnh $BC$ lấy điểm $N$ sao cho `\hat{NAC}=\hat{NCA}` $(3)$
`=>∆NAC` cân tại $N$
`=>AN=CN` (*)
$\\$
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>\hat{BAC}=\hat{BAN}+\hat{NAC}=90°` $(4)$
`\qquad \hat{ABC}+\hat{BCA}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{ABN}+\hat{NCA}=90°` $(5)$
Từ `(3);(4);(5)=>\hat{BAN}=\hat{ABN}`
`=>∆NAB` cân tại $N$
`=>AN=BN` (**)
$\\$
Từ (*);(**)`=>AN=BN=CN` $(6)$
Vì `B;N;C` thẳng hàng và $BN=CN$
`=>N` là trung điểm $BC$
Mà $M$ là trung điểm $BC$ (gt)
`=>N≡M` $(7)$
Từ `(6);(7)=>AM=BM=CM`
Mà `BM=1/2BC` (vì $M$ là trung điểm $BC$)
`=>AM=1/2BC` (đpcm)
