Đáp án:
`HB=18;HC=32; BD={150}/7; AD={120\sqrt{2}}/7`
Giải thích các bước giải:
Đặt $HB=x$ `\quad (x>0)`
Vì `HC-HB=14` (gt)
`=>HC=HB+14=x+14`
$∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AH^2=HB.HC` (hệ thức lượng)
`=>24^2=x.(x+14)`
`=>x^2+14x-576=0`
`=>x^2-18x+32x-32.18=0`
`=>x(x-18)+32(x-18)=0`
`=>(x-18)(x+32)=0`
`=>`$\left[\begin{array}{l}x-18=0\\x+32=0\end{array}\right.$`=>`$\left[\begin{array}{l}x=18\ (thỏa\ mãn)\\x=-32\ (loại)\end{array}\right.$
`=>HB=x=18; HC=x+14=18+14=32`
$\\$
`=>BC=HB+HC=18+32=50`
$\\$
`\qquad AB^2=HB.BC` (hệ thức lượng)
`=>AB^2=18.\ 50=900`
`=>AB=\sqrt{900}=30`
$\\$
`\qquad AC^2=HC.BC` (hệ thức lượng)
`=>AC^2=32.\ 50=1600`
`=>AC=\sqrt{1600}=40`
$\\$
$AD$ là phân giác của `\hat{BAC}`
`=>{BD}/{CD}={AB}/{AC}={30}/{40}=3/4`
`=>BD=3k; CD=4k\quad (k>0)`
`=>BC=BD+CD=3k+4k=7k=50`
`=>k={50}/7`
`=>BD=3k=3. {50}/7={150}/7`
$\\$
`HD=BD-HB={150}/7-18={24}/7`
Xét $∆AHD$ vuông tại $H$
`=>AD^2=AH^2+HD^2` (định lý Pytago)
`=>AD=\sqrt{24^2+({24}/7)^2}={120\sqrt{2}}/7`
Vậy:
`HB=18;HC=32; BD={150}/7; AD={120\sqrt{2}}/7`
