Đáp án:
$\\$
`a,`
Xét `ΔAMN` vuông tại `A` có :
`AM^2 + AN^2 = MN^2` (Pitago)
`-> AN^2 = MN^2 - AM^2`
`-> AN^2 = 37^2 - 12^2`
`-> AN^2 =35^2`
`-> AN=35cm`
Xét `ΔAMN` có :
`AM=12cm, AN=35cm, MN=37cm`
`-> AM <AN<MN` (Do `12cm < 35cm < 37cm`)
Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :
`hat{N} < hat{M} < hat{A}`
$\\$
`b,`
Xét `ΔABI` và `ΔNBI` có :
`AI=NI` (Do `I` là trung điểm của `AN`)
`BI` chung
`hat{AIB}=hat{NIB}=90^o` (gt)
`-> ΔABI = ΔNBI` (cạnh - góc - cạnh)
$\\$
`c,`
Do `ΔABI = ΔNBI` (cmt)
`-> AB = BN` (2 cạnh tương ứng)
và `hat{ABI}=hat{NBI}` (2 góc tương ứng)
Có : `AM⊥AN, BI ⊥AN` (gt)
$→ AM//BI$
`-> hat{M}=hat{NBI}` (2 góc đồng vị)
mà `hat{ABI}=hat{NBI}` (cmt)
`-> hat{M}=hat{ABI} (= hat{NBI})`
Do $AM//BI$ (cmt)
`-> hat{BAM}=hat{ABI}` (2 góc so le trong)
mà `hat{M}=hat{ABI}` (cmt)
`-> hat{BAM}=hat{M} (= hat{ABI})`
`-> ΔAMB` cân tại `B`
`-> BM = AB`
mà `BN=AB` (cmt)
`-> BM =BN(=AB)`
`-> B` là trung điểm của `MN`
Có : `BA=BC` (gt)
`-> B` là trung điểm của `AC`
`-> NB` là đường trung tuyến của `ΔANC`
Có : `I` là trung điểm của `AN` (gt)
`-> CI` là đường trung tuyến của `ΔANC`
Xét `ΔANC` có :
`NB` là đường trung tuyến
`CI` là đường trung tuyến
`NB` cắt `CI` tại `D`
`-> D` là trọng tâm của `ΔANC`
`-> ND = 2/3 BN`
mà `BN=1/2 MN` (Do `B` là trung điểm của `MN`)
`-> ND = 2/3 . 1/2 BN`
`-> ND = 1/3 BN`
`->BN=3ND`
