Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Bchung\\
\widehat {AHB} = \widehat {CAB} = {90^0}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta CAB\left( {g.g} \right)
\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta AHB \sim \Delta CAB\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CA}} = \dfrac{{HB}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AB = 6cm;AC = 8cm\\
 \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = 10cm\\
 \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CA}} = \dfrac{{HB}}{{AB}} = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{6}{{10}} = \dfrac{3}{5}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AH = CA.\dfrac{3}{5} = \dfrac{{24}}{5}cm\\
HB = AB.\dfrac{3}{5} = \dfrac{{18}}{5}cm
\end{array} \right.
\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta AHD \sim \Delta BHE\left( {g.g} \right)\\
 \Rightarrow \dfrac{{HA}}{{HB}} = \dfrac{{HD}}{{HE}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{HA}}{{HD}} = \dfrac{{HB}}{{HE}}
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {DHE} = \widehat {AHB} = {90^0}\\
\dfrac{{HA}}{{HD}} = \dfrac{{HB}}{{HE}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta DHE \sim \Delta AHB\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {EDH} = \widehat {BAH}
\end{array}$

d) Ta có:

$\Delta AHC$ vuông tại $H$ có $D$ là trung điểm của $AC$

$\to DH=DA=DC=\dfrac{1}{2}AC=4cm$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {DAE} = \widehat {DHE} = {90^0}\\
DEchung\\
DA = DH
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta DAE = \Delta DHE\left( {ch - cgv} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {HDE}\\
 \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {BAH}\\
 \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {ACB}\left( {do:\widehat {BAH} = \widehat {ACB}} \right)\\
 \Rightarrow DE//BC
\end{array}$

Mà $D$ là trung điểm của $AC$; $E\in AB$

$\to E$ là trung điểm của $AB$

$\to HE=\dfrac{1}{2}AB=3cm$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông)

Khi đó:

$S_{HDE}=\dfrac{1}{2}DH.HE=\dfrac{1}{2}4.3=6cm^2$

Vậy $S_{HDE}=6cm^2$