Đáp án:

$24)
 A: \exists   x\in \mathbb{R},x^3-x^2+1\leq 0$
Mệnh đề phủ định đúng 
B: Với mọi số thực a sao cho $a+1+\dfrac{1}{a+1}>2 "$
Mệnh đề phủ định sai 
25)
a) Mệnh đề P(x) đúng
$\overline{P(x)}:"\forall  x\in \mathbb{Z},x^2\neq 3"$
b) Mệnh đề P(n) sai 
$ \overline{P(n)}: "\exists  x\in\mathbb{N}^*:2^n+3"$ không là một số nguyên tố.
c)  Mệnh đề P(x) đúng 
$\overline{P(x)}:"\exists  x\in \mathbb{R},x^2+4x+5\leq 0"$
d) Mệnh đề  P(x) đúng
$ \overline{P(x)}:"\exists  x\in \mathbb{R},x^4-x^2+2x+2< 0"$

Giải thích các bước giải:

$24)
\overline{A}:\forall x\in \mathbb{R},x^3-x^2+1>0\\
\Rightarrow A: \exists   x\in \mathbb{R},x^3-x^2+1\leq 0\\$
Mệnh đề phủ định đúng khi $x=-1\Rightarrow -1<0$
$\overline{B}:$ "Tồn tại số thực a sao cho $a+1+\dfrac{1}{a+1}\leq 2"$
$\Rightarrow B:$ Với mọi số thực a sao cho $a+1+\dfrac{1}{a+1}>2 "$
Mệnh đề phủ định sai vì khi $a=-2\Rightarrow -2+1+\dfrac{1}{-2+1}=-2<0$
25)
$a) P(x):"\exists x\in \mathbb{Z},x^2=3"$ Mệnh đề đúng
$\Rightarrow \overline{P(x)}:"\forall  x\in \mathbb{Z},x^2\neq 3"$
$b) P(n):"\forall x \in\mathbb{N}^*:2^n+3"$ là một số nguyên tố. Mệnh đề sai 
Vì khi $n=5\Rightarrow 2^5+3=35$
$\Rightarrow \overline{P(n)}: "\exists  x\in\mathbb{N}^*:2^n+3"$ không là một số nguyên tố.
$c) P(x):"\forall x\in \mathbb{R},x^2+4x+5>0"$ Mệnh đề đúng 
Vì $x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1>0$
$\overline{P(x)}:"\exists  x\in \mathbb{R},x^2+4x+5\leq 0"$
$d) P(x):"\forall x\in \mathbb{R},x^4-x^2+2x+2\geq 0"$ Mệnh đề đúng
Vì $x^4-x^2+2x+2=x^4-2x^2+1+x^2+2x+1$ $=(x^2-1)^2+(x+1)^2>0$
$\Rightarrow \overline{P(x)}:"\exists  x\in \mathbb{R},x^4-x^2+2x+2< 0"$