$\text{Do a , b , c là số thực dương }$
`->` `a` `+` `b` `+` `c` $\geq$ `1/a` `+` `1/b` `+` `1/c`
`->` $\dfrac{a + b + c}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}}$ $\geq$ `1`
$\text{Vì là số thực dương nên khi chia cho $\dfrac{1}{a}$ + $\dfrac{1}{b}$ + $\dfrac{1}{c}$ không đổi dấu}$
`->` $\dfrac{abc ( a + b + c )}{ab + bc + ca}$ $\geq$ `1` `( 1 )`
`->` $\dfrac{3abc}{ab + bc + ca}$ $\geq$ `1` `(` Vì `a` `+` `b` `+` `c` `=` `3` `)`
$ Áp $ $ dụng $ $ BĐT $ `Cauchy` $cho$ $\dfrac{a}{b}$ `+` $\dfrac{b}{c}$ `+` $\dfrac{c}{a}$
`->` $\dfrac{a}{b}$ `+` $\dfrac{b}{c}$ `+` $\dfrac{c}{a}$ $\geq$ `3` `.` $\sqrt[3]{\dfrac{a}{b} . \dfrac{b}{c} . \dfrac{c}{a}}$ `=` `3` `(2)`
`(1)` `(2)` `->` `P` $\geq$ `4`
`->` `P_min` `=` `4` `⇔` `a` `=` `b` `=` `c` `=` `1`
