$\begin{array}{l} \quad x^2 + mx+m-2=0\\ a)\quad \text{Ta có:}\\ \Delta = m^2 - 4(m-2) = m^2 - 4m +8\\ = (m^2 - 4m + 4) + 4 \\ = (m-2)^2 + 4 >0\quad \forall m\\ \text{Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị m}\\ b)\quad \text{Với $x_1;\,x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho}\\ \text{Áp dụng định lý Viète ta được:}\\ \quad \begin{cases}x_1 + x_2 = -m\\x_1x_2 = m-2\end{cases}\\ \text{Ta có:}\\ \left(\sqrt{x^2_1+1}-1\right)\left(\sqrt{x^2_2+1}-1\right)\left(\sqrt{x^2_1+1}+1\right)\left(\sqrt{x^2_2+1}+1\right)=1\\ \Leftrightarrow \left[(x_1^2 + 1) -1 \right]\cdot\left[(x_2^2 +1) - 1 \right]= 1\\ \Leftrightarrow x_1^2.x_2^2 = 1\\ \Leftrightarrow (m-2)^2 =1\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m - 2 = 1\\m - 2=-1\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 3\\m =1\end{array}\right. \end{array}$
