1.
Thay $x=0; y=-3$ vào $d$, ta có:
$2m+1=-3$
$\to m=-2$ (TM)
Vậy $(d): y=-3x-3$
* Vẽ $(d)$ khi $m=-2$:
Chọn $x=0\to y=-3$
Chọn $x=-2\to y=3$
2.
Giao điểm nằm trên trục hoành có tung độ bằng $0$
Thay $y=0$ vào $y=x+1$:
$x+1=0$
$\to x=-1$
Thay $y=0$ vào $y=-3x-3$:
$-3x-3=0$
$\to x=-1$
Suy ra $y=-3x-3$ cắt $y=x+1$ tại điểm $(-1;0)$
Vậy giao điểm nằm trên trục hoành
3.
Thay $x=0$ vào $d\to y=2m+1$
Thay $y=0$ vào $d\to x=-\dfrac{2m+1}{m-1}$
Gọi $h$ là khoảng cách $O$ đến $d$
Theo hệ thức lượng:
$\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{(2m+1)^2}+\dfrac{(m-1)^2}{(2m+1)^2}$
$\to h^2=\dfrac{(2m+1)^2}{(m-1)^2+1}$
$\to h^2=\dfrac{4m^2+4m+1}{m^2-2m+2}$
Đặt $a=h^2$
$\to a(m^2-2m+2)=4m^2+4m+1$
$\to (4-a)m^2+(2a+4)m-2a+1=0$
$\to (a-4)m^2-2(a+2)m+2a-1=0$ (*)
Để (*) có nghiệm:
$\Delta'=(a+2)^2-(a-4)(2a-1)\ge 0$
$\to -a^2+13a\ge 0$
$\to 0\le a\le 13$
$\to 0\le h^2\le 13$
$\to 0<h\le \sqrt{13}$
Vậy $\max h=\sqrt{13}$
Dấu $=$ xảy ra khi $\dfrac{ 4m^2+4m+1}{ m^2-2m+2}= 13$
$\to m=\dfrac{5}{3}$
