Đáp án:
Bài 3:
a) $S = \left\{ {\dfrac{7}{2}} \right\}$
b) $S = \left\{ 1 \right\}$
c) $S = \left[ {0;2} \right]$
Bài 4: $x \in \left( {1;2} \right)$
Giải thích các bước giải:
Bài 1:
ĐK: $x,y>0$
Ta có:
$\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}} = 2\left( {BDT:Cauchy} \right)$
Dấu bằng xảy ra
$ \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow x = y$
Ta có điều phải chứng minh.
Bài 3:
$\begin{array}{l}
a)\left| {2 - x} \right| = \left| {x - 5} \right|\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2 - x = x - 5\\
2 - x = 5 - x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = 7\\
2 = 5\left( {mt} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = \dfrac{7}{2}
\end{array}$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\dfrac{7}{2}} \right\}$
$\begin{array}{l}
b)\left| {2 - x} \right| = x\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
2 - x = x\\
2 - x = - x
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
2x = 2\\
2 = 0\left( {mt} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
x = 1\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = 1
\end{array}$
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ 1 \right\}$
c) Ta có:
$\left| x \right| + \left| {2 - x} \right| = 2(1)$
Lại có:
$\left| x \right| + \left| {2 - x} \right| \ge \left| {x + 2 - x} \right| = 2(2),\dforall x$
Như vậy:
Phương trình $(1)$
$ \Leftrightarrow $ Dấu bằng xảy ra của bất phương trình $(2)$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
2 - x \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
2 - x \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
x \le 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
x \ge 2
\end{array} \right.\left( {mt} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 2$
Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left[ {0;2} \right]$
Bài 4:
ĐKXĐ: $x\ne 1$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 2 > 0\\
x - 1 < 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - 2 < 0\\
x - 1 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x > 2\\
x < 1
\end{array} \right.\left( l \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
x < 2\\
x > 1
\end{array} \right.\left( c \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < x < 2
\end{array}$
Vậy $x \in \left( {1;2} \right)$ thỏa mãn đề
