a, Xét (O) có:
$\widehat{QAB}=\frac{1}{2}\overparen{AB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến QA và dây AB)
$\widehat{BCA}=\frac{1}{2}\overparen{AB}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{AB}$ )
⇒ $\widehat{QAB}=\widehat{BCA}$ Hay $\widehat{QAB}=\widehat{QCA}$
Xét ΔQAB và ΔQCA có:
$\widehat{QAB}=\widehat{QCA}$ (cmt)
$\widehat{AQC}$ : góc chung
⇒ ΔQAB ~ ΔQCA (g.g)
⇒ $\frac{QA}{QC}=\frac{QB}{QA}$ (các cặp cạnh tương ứng)
⇒ QA²=QB.QC
b, Xét ΔABD có: BA=BD (gt)
⇒ ΔABD cân tại B
⇒ $\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$
Xét (O) có:
$\widehat{QAB}=\frac{1}{2}\overparen{AB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến QA và dây AB)
$\widehat{BDA}=\frac{1}{2}\overparen{AB}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{AB}$ )
⇒ $\widehat{QAB}=\widehat{BDA}$ Hay $\widehat{QAR}=\widehat{BDA}$
Mà $\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$ (cmt)
⇒ $\widehat{QAR}=\widehat{BAD}$
Có tứ giác ABCD nội tiếp (O) (gt)
⇒ $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}=180°$ (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)
Hay $\widehat{BAD}+\widehat{QCD}=180°$
Mà $\widehat{QCR}+\widehat{QCD}=180°$ (hai góc kề bù)
⇒ $\widehat{QCR}=\widehat{BAD}$
Mà $\widehat{QAR}=\widehat{BAD}$ (cmt)
⇒ $\widehat{QAR}=\widehat{QCR}$
Xét tứ giác QRAC có: $\widehat{QAR}=\widehat{QCR}$ (cmt)
Hai đỉnh A và C cùng nhìn QR dưới hai góc bằng nhau
⇒ Tứ giác QRAC nội tiếp
c, Đề sai . Đúng ra phải là QR//AD
Tứ giác QRAC nội tiếp (cmt)
⇒ $\widehat{QRA}=\widehat{QCA}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{QA}$)
Xét (O) có: $\widehat{BCA}=\widehat{BDA}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{AB}$)
Hay $\widehat{QCA}=\widehat{BDA}$
Mà $\widehat{QRA}=\widehat{QCA}$ (cmt), $\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$ (cmt)
⇒ $\widehat{QRA}=\widehat{BAD}$ ⇒ $\widehat{QRA}=\widehat{RAD}$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong do AR cắt QR và AD
⇒ QR//AD
