Đáp án:
$A ≥ 2019$
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số dương :
$4x + \frac{1}{4x} ≥ 2\sqrt[]{4x×\frac{1}{4x}}$
⇔ $4x + \frac{1}{4x} ≥ 2$
Ta đi chứng minh : $\frac{4\sqrt[]{x}+3}{x+1} ≤ 4 ∀ x > 0$
⇔ $4\sqrt[]{x} + 3 ≤ 4x + 4$
⇔ $4x - 4\sqrt[]{x} + 1 ≥ 0$
⇔ $( 2\sqrt[]{x} - 1 )^{2} ≥ 0$ ( luôn đúng với $∀ x > 0$ )
Ta có :
$A = 4x + \frac{1}{4x} - \frac{4\sqrt[]{x}+3}{x+1} + 2021$
⇔ $A = ( 4x + \frac{1}{4x} ) - \frac{4\sqrt[]{x}+3}{x+1} + 2021 ≥ 2 - 4 + 2021$
⇔ $A ≥ 2019$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $\left \{ {{4x=\frac{1}{4x}} \atop {2\sqrt[]{x}-1=0}} \right.$
⇔ $\left \{ {{x^{2}=\frac{1}{16}} \atop {\sqrt[]{x}=\frac{1}{2}}} \right.$
⇔ $x = \frac{1}{4}$ ( vì $x > 0$ )
