Đáp án:

$\begin{array}{l}
a.\left[ \begin{array}{l}
{I_A} = 3,25A\\
{I_A} = 1,75A
\end{array} \right.\\
b.{R_x} = 3\Omega \\
{P_{{x_{\max }}}} = 12W
\end{array}$ 

Giải thích các bước giải:

a. Điện trở tương đương của đoạn mạch là:

${R_{td}} = {R_o} + \dfrac{{{R_x}{R_1}}}{{{R_x} + {R_1}}} = 4 + \dfrac{{12{R_x}}}{{12 + {R_x}}} = \dfrac{{48 + 16{R_x}}}{{12 + {R_x}}}$

Cường độ dòng điện qua mạch là:

${I_m} = \dfrac{U}{{{R_{td}}}} = \dfrac{{16\left( {12 + {R_x}} \right)}}{{48 + 16{R_x}}} = \dfrac{{12 + {R_x}}}{{3 + {R_x}}}$

Cường độ dòng điện qua biến trở Rx là:

${I_x} = \dfrac{{{R_1}}}{{{R_x} + {R_1}}}.{I_m} = \dfrac{{12}}{{12 + {R_x}}}.\dfrac{{12 + {R_x}}}{{3 + {R_x}}} = \dfrac{{12}}{{3 + {R_x}}}$

Giá trị điện trở Rx là:
$\begin{array}{l}
{P_x} = {I_x}^2.{R_x} = \dfrac{{144{R_x}}}{{{{\left( {{R_x} + 3} \right)}^2}}} = 9\\
 \Leftrightarrow {R_x}^2 + 6{R_x} + 9 = 16{R_x}\\
 \Leftrightarrow {R_x}^2 - 10{R_x} + 9 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{R_x} = 9\Omega \\
{R_x} = 1\Omega 
\end{array} \right.
\end{array}$

Khi ${R_x} = 1\Omega $, số chỉ của ampe kế là:
${I_A} = {I_m} = \dfrac{{12 + {R_x}}}{{3 + {R_x}}} = \dfrac{{12 + 1}}{{3 + 1}} = 3,25A$

Khi ${R_x} = 9\Omega $, số chỉ của ampe kế là:
${I_A} = {I_m} = \dfrac{{12 + {R_x}}}{{3 + {R_x}}} = \dfrac{{12 + 9}}{{3 + 9}} = 1,75A$

b. Để công suất tiêu thụ trên biến trở ${P_x} = {I_x}^2.{R_x} = \dfrac{{144{R_x}}}{{{{\left( {{R_x} + 3} \right)}^2}}} = \dfrac{{144}}{{{{\left( {\sqrt {{R_x}}  + \dfrac{3}{{\sqrt {{R_x}} }}} \right)}^2}}}$ đạt giá trị cực đại thì ${{{\left( {\sqrt {{R_x}}  + \dfrac{3}{{\sqrt {{R_x}} }}} \right)}^2}}$ phải đạt giá trị cực tiểu.

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số không âm ${\sqrt {{R_x}} }$ và ${\dfrac{3}{{\sqrt {{R_x}} }}}$ ta có:
$\begin{array}{l}
\sqrt {{R_x}}  + \dfrac{3}{{\sqrt {{R_x}} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{R_x}} .\dfrac{3}{{\sqrt {{R_x}} }}}  = 2\sqrt 3 \\
 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {{R_x}}  + \dfrac{3}{{\sqrt {{R_x}} }}} \right)^2} \ge {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 12
\end{array}$

Dấu "=" xảy ra khi:
$\sqrt {{R_x}}  = \dfrac{3}{{\sqrt {{R_x}} }} \Leftrightarrow {R_x} = 3\Omega $

Công suất cực đại đó là:
${P_{{x_{\max }}}} = \dfrac{{144}}{{{{\left( {\sqrt {{R_x}}  + \dfrac{3}{{\sqrt {{R_x}} }}} \right)}^2}}} = \dfrac{{144}}{{12}} = 12W$