Giải thích các bước giải:
Ta có:
Đặt \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + bx + c\), ta có:
\(\begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = a{.1^2} + b.1 + c = a + b + c\\
f\left( 2 \right) = a{.2^2} + b.2 + c = 4a + 2b + c\\
\Rightarrow f\left( 1 \right) + 4.f\left( 2 \right) = \left( {a + b + c} \right) + 4.\left( {4a + 2b + c} \right) = 17a + 9b + 5c
\end{array}\)
Theo giả thiết, \(17a + 9b + 5c = 0\) nên \(f\left( 1 \right) + 4f\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = - 4f\left( 2 \right)\)
Ta có:
\(f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) = \left[ { - 4f\left( 2 \right)} \right].f\left( 2 \right) = - 4{\left[ {f\left( 2 \right)} \right]^2} \le 0,\,\,\,\forall x\)
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {1;2} \right]\) và có \(f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) luôn có nghiệm trên \(\left[ {1;2} \right]\)
