Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\widehat {BAE} = \widehat {DAF}\left( { + \widehat {EAD} = {{90}^0}} \right)$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BAE} = \widehat {DAF}\\
AB = AD\\
\widehat {ABE} = \widehat {ADF}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta ABE = \Delta ADF\left( {g.c.g} \right)\\
\Rightarrow AE = AF
\end{array}$
b) Gọi $M$ là trung điểm của $EF$
Ta có:
Xét $\Delta AEF;\widehat {EAF} = {90^0};AE = AF$
$ \Rightarrow \Delta AEF$ vuông cân tại $A$.
Mà $M$ là trung điểm của $EF$ $\to AM$ là phân giác $\widehat {EAF}$
$ \Rightarrow \widehat {MAF} = {45^0} \Rightarrow \widehat {KAF} = {45^0}$
Lại có:
$ABCD$ là hình vuông $ \Rightarrow \widehat {ACD} = {45^0} \Rightarrow \widehat {ACF} = {45^0}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ACF} = \widehat {KAF}\left( { = {{45}^0}} \right)\\
\widehat Fchung
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta ACF \sim \Delta KAF\left( {g.g} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{AF}}{{KF}} = \dfrac{{CF}}{{AF}}\\
\Rightarrow A{F^2} = CF.KF
\end{array}$
Ta có dpcm.
c) Ta có:
$AB = 4;BE = \dfrac{3}{4}BC = 3$
Xét $\Delta ABE;\widehat A = {90^0};AB = 4;BE = 3$
$ \Rightarrow AE = \sqrt {A{B^2} + B{E^2}} = 5$
Khi đó:
${S_{AEF}} = \dfrac{1}{2}AE.AF = \dfrac{1}{2}.5.5 = \dfrac{{25}}{2}\left( {dvdt} \right)$
Vậy ${S_{AEF}} = \dfrac{{25}}{2}\left( {dvdt} \right)$
d) Ta có:
Xét $\Delta AJF;\widehat A = {90^0};AD \bot FJ = D$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow AF.AJ = AD.FJ\\
\Rightarrow \dfrac{{AF.AJ}}{{FJ}} = AD\\
\Rightarrow \dfrac{{AE.AJ}}{{FJ}} = AD
\end{array}$
Suy ra $\dfrac{{AE.AJ}}{{FJ}}$ không phụ thuộc vào vị trí của $E$
