`a,` Áp dụng định lý Pytago trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ có: 

`BC^2=AB^2+AC^2`

Hay `20^2=12^2+AC^2`

`⇒400=144+AC^2`

`⇒AC^2=400-144=256`

`⇒AC=16` `(cm)` $\text{(vì}$ `AC>0)`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `,AH\botBC` $(gt)$ có:

`AH.BC=AB.AC`

Hay `AH.20=12.16`

`⇔AH.20=192`

`⇔AH=9,6` `(cm)`

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ có:

`sin\hat{ABC}={AC}/{BC}={16}/{20}={4}/{5}`

`⇒\hat{ABC}~~53^o`

`b,AH\botBC` $(gt)$ `⇒\hat{AHB}=\hat{AHC}=90^o`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHC` vuông tại `H` `(\hat{AHC}=90^o),HN\botAC` $(gt)$ có: `AH^2=AN.AC`

Áp dụng định lý Pytago trong `ΔAHC` vuông tại `H` `(\hat{AHC}=90^o)` có:

`AC^2=AH^2+HC^2`

`⇒AH^2=AC^2-HC^2`

Mà `AH^2=AN.AC` `(cmt)`

`⇒AN.AC=AC^2-HC^2`

`c,ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `⇒\hat{BAC}=90^o` Hay `\hat{MAN}=90^o`

`HM\botAB` $(gt)$ `⇒\hat{HMA}=90^o`

`HN\botAB` $(gt)$ `⇒\hat{HNA}=90^o`

Xét tứ giác `AMHN` có:

`\hat{MAN}=90^o` `(cmt)`

`\hat{HMA}=90^o` `(cmt)`

`\hat{HNA}=90^o` `(cmt)`

`⇒AMHN` là hình chữ nhật

`⇒AH=MN,\hat{MHN}=90^o`

Áp dụng định lý Pytago trong `ΔHMN` vuông tại `H` `(\hat{MHN}=90^o)` có:

`MN^2=HM^2+HN^2`

Mà `AH=MN` `(cmt)`

`⇒AH^2=HM^2+HN^2`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHB` vuông tại `H` `(\hat{AHB}=90^o),HM\botAB` $(gt)$ có: `HM^2=AM.MB`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHC` vuông tại `H` `(\hat{AHC}=90^o),HN\botAC` $(gt)$ có: `HN^2=AN.NC`

`⇒AM.MB+AN.NC=HM^2+HN^2`

`⇒AM.MB+AN.NC=AH^2`

`d,`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHB` vuông tại `H` `(\hat{AHB}=90^o),HM\botAB` $(gt)$ có: `BH^2=BM.AB`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔAHC` vuông tại `H` `(\hat{AHC}=90^o),HN\botAC` $(gt)$ có: `CH^2=CN.AC`

Áp dụng tỉ số lượng giác của `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ có:

`tanC={AB}/{AC}`

`⇒tan^3C=({AB}/{AC})^3={AB^3}/{AC^3}`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `,AH\botBC` $(gt)$ có:

`-AB^2=BH.BC⇒AB^4=BH^2.BC^2`

`-AC^2=CH.BC⇒AC^4=CH^2.BC^2`

Có `{AB^4}/{AC^4}={BH^2.BC^2}/{CH^2.BC^2}={BH^2}/{CH^2}`

Mà `BH^2=BM.AB` `(cmt),` `CH^2=CN.AC` `(cmt)`

`⇒{AB^4}/{AC^4}={BM.AB}/{CN.AC}={BM}/{CN}.{AB}/{AC}`

`⇒{AB^3}/{AC^3}={BM}/{CN}.`

Mà `tan^3C={AB^3}/{AC^3}` `(cmt)`

`⇒tan^3C={BM}/{CN}`